A008784 Lucas uses the fact that there are no multiples of 3 in this sequence to prove that one cannot have an equilateral triangle on the points of a square lattice.
Les sommets ou les centres d'un échiquier quelconque ne sont jamais situés aux sommets d'un triangle équilatéral.
En effet, si l'on prend l'un des sommets pour origine des coordonnées rectangulaires, et si l'on désigne par $(a, b)$ et $(c, d)$ les coordonnées des deux autres sommets, on devrait avoir
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}=(a-c)^{2}+(b-d)^{2}$$
ou
$$
a^2+b^2=c^2+d^2=2(a c+b d),
$$
et, par suite,
$$
3\left(a^2+b^2\right)=(a+c)^2+(b+d)^2 .
$$
Donc le nombre 3 diviserait une somme de deux carrés, que l'on peut supposer premiers entre eux; ce qui est impossible.