格点正二十面体

hbghlyj

我们能否在 $\mathbb R^3$ 中嵌入一个正二十面体，其顶点仅位于格点 $\mathbb Z^3$ ？

hejoseph

如果三点是空间格点，那么其夹角余弦的平方是有理数，由此可知空间正多边形只能是正三角形、正方形或正六边形。以正二十面体的顶点为顶点的平面多边形中存在着正五边形，因此正二十面体的顶点不可能都是格点。

hbghlyj

hejoseph 发表于 2023-3-27 13:50
由此可知空间正多边形只能是正三角形、正方形或正六边形。

易验证它们都是可能的：$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$构成正三角形、$(\pm1,\pm1,0)$构成正方形、$(1,2,0),(2,1,0),(1,0,2),(2,0,1),(0,1,2),(0,2,1)$构成正六边形。
import three;

size(200);

// Draw the axes
draw(L=Label("$x$", position=EndPoint), O--3X, Arrow3(6));
draw(L=Label("$y$", position=EndPoint), O--3Y, Arrow3(6));
draw(L=Label("$z$", position=EndPoint), O--3Z, Arrow3(6));

// Define the hexagon path
path3 hexagon = (0,1,2)--(0,2,1)--(1,2,0)--(2,1,0)--(2,0,1)--(1,0,2);

// Draw the hexagon path
draw(hexagon--cycle, red);

// Label the hexagon vertices
for (int i = 0; i < 6; ++i) {
  triple p=point(hexagon,i);
    dot(p, red);
    label("$" + (string)p+ "$", p, align=p-(1,1,1));
}
因为正十二、二十面体包含正五边形，格点正多面体只能是正四、六、八面体(易验证它们都是可能的)。

hbghlyj

我们能否在 $\mathbb R^2$ 中嵌入一个正三角形，其顶点仅位于格点 $\mathbb Z^2$？
math.stackexchange.com/questions/105330/

A008784 Lucas uses the fact that there are no multiples of 3 in this sequence to prove that one cannot have an equilateral triangle on the points of a square lattice.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-4-22 09:21
我们能否在 $\mathbb R^2$ 中嵌入一个正三角形，其顶点仅位于格点 $\mathbb Z^2$？

Théorème sur la géométrie des quinconces
Édouard Lucas

Les sommets ou les centres d'un échiquier quelconque ne sont jamais situés aux sommets d'un triangle équilatéral.

En effet, si l'on prend l'un des sommets pour origine des coordonnées rectangulaires, et si l'on désigne par $(a, b)$ et $(c, d)$ les coordonnées des deux autres sommets, on devrait avoir
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}=(a-c)^{2}+(b-d)^{2}$$
ou
$$
a^2+b^2=c^2+d^2=2(a c+b d),
$$
et, par suite,
$$
3\left(a^2+b^2\right)=(a+c)^2+(b+d)^2 .
$$
Donc le nombre 3 diviserait une somme de deux carrés, que l'on peut supposer premiers entre eux; ce qui est impossible.

hbghlyj

能否在 $\mathbb R^2$ 中嵌入一个正三角形，两个顶点在格点上，第三个顶点与最近格点的距离$<\epsilon$，对任意$\epsilon>0$？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-4-22 17:35
能否在 $\mathbb R^2$ 中嵌入一个正三角形，两个顶点在格点上，第三个顶点与最近格点的距离$0$？ ...

当然能. 选正三角形 $T_n$ 的两个顶点为 $(\pm n,0)$. 由于 $\{n\sqrt 3-[n\sqrt 3]\}_{n\geq 1}$ 在 $0$ 处有聚点, 第三个顶点可以无限靠近格点.

关于聚点的证明: 注意到 $\lim_{n\to \infty}(\sqrt3-1)^n=0$ 即可.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-5-16 09:02
关于聚点的证明: 注意到 $\lim_{n\to \infty}(\sqrt3-1)^n=0$ 即可.

我懂了。二项式展开$(\sqrt3-1)^n$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-4-22 09:31
que l'on peut supposer premiers entre eux

它假定了$a+c,b+d$互素？为什么？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-21 13:18
它假定了$a+c,b+d$互素？为什么？

哦，我理解錯了。它应该是假定$a,b$互素，则$3\nmid a^2+b^2$，则$9\nmid 3\left(a^2+b^2\right)=(a+c)^2+(b+d)^2$，所以：$(a+c)^2+(b+d)^2$是两平方数之和，它是3的倍数且不是9的倍数，这是不可能的。