格点$\triangle ABC$内有唯一一个格点$P$，求三边长

abababa

格点$\triangle ABC$内有唯一一个格点$P$，三条边上除顶点外没有其它格点，求三边长。
格点：横纵坐标都是整数的点称为格点。

TSC999

格点三角形内只有一个格点。只能作出唯一的三角形如上图。

kuing

TSC999 发表于 2023-3-27 16:36
格点三角形内只有一个格点。只能作出唯一的三角形如上图。

底角顶点再外移一格也可以吧？

kuing

我擦，越数越多，不知道有没有尽头……

题已改，此图已无用，折叠之

kuing

到底是不是我们理解错了楼主的“内”字：边上的格点算不算内？

hbghlyj

Matrix67: Pick定理的几个出人意料的应用

考虑直线x+y=n，其中n是一个素数。这条直线将恰好通过第一象限里的n-1个格点（如上图，图中所示的是n=11的情况）。将这n-1个点分别和原点相连，于是得到了n-2个灰色的三角形。仔细数数每个三角形内部的格点数，你会发现一个惊人的事实：每个三角形内部所含的格点数都是一样多。

abababa

kuing 发表于 2023-3-27 17:26
到底是不是我们理解错了楼主的“内”字：边上的格点算不算内？

原来如此，那是我叙述的不正确，我改一下主楼。

abababa

hbghlyj 发表于 2023-3-27 17:39
Pick定理的几个出人意料的应用

考虑直线x+y=n，其中n是一个素数。这条直线将恰好通过第一象限里的n-1个格 ...

那这样的话，$P$就是重心，然后要怎么求三边长？

hbghlyj

abababa 发表于 2023-3-27 10:45
那这样的话，$P$就是重心，然后要怎么求三边长？

为什么$P$是重心

abababa

hbghlyj 发表于 2023-3-27 17:59
为什么$P$是重心

因为$P$到三个顶点所构成的那三个小三角形，都是格点三角形，这样的话，底边长至少是$1$，高至少是$1$，所以小三角形面积至少是$\frac{1}{2}$。再根据帖子里提到的那个定理，$S_{\triangle ABC}=\text{内部格点数}+\frac{1}{2}\text{边界顶点数}-1=1+\frac{3}{2}-1=\frac{3}{2}$，所以每个小三角形的面积都是$\frac{1}{2}$，这样$P$就只能是重心了。

kuing

abababa 发表于 2023-3-27 17:41
原来如此，那是我叙述的不正确，我改一下主楼。

依然有非常多符合的三角形。

你试试画下面的三角形：
设 `O` 为原点，`A(0,1)` 以及 `B(3,2+3k)` 其中 `k` 为自然数，则 `\triangle OAB` 似乎都符合？

abababa

kuing 发表于 2023-3-27 18:16
依然有非常多符合的三角形。

你试试画下面的三角形：

果然如此。那能不能求一个通解之类的，全等的只算一种情况。

kuing

abababa 发表于 2023-3-27 18:34
果然如此。那能不能求一个通解之类的，全等的只算一种情况。

不清楚，除了 11# 的之外还有非常多。

所以这道题是你自己出的还是在研究啥问题时产生的问题？

abababa

kuing 发表于 2023-3-27 19:14
不清楚，除了 11# 的之外还有非常多。

所以这道题是你自己出的还是在研究啥问题时产生的问题？ ...

是一本初中数学竞赛书上的题，书现在已经没了。我之前抄了这些题，有很多都没有解，现在学习Asymptote，又想起之前还有些题没解决，就又翻出来看看。这个题原来的题目就是我在主楼一开始叙述那样的，后面有一行提示：这样的三角形只能是底边长为$\sqrt{2}$，腰长为$\sqrt{5}$的等腰三角形。

按这个提示，那这个三角形就是2楼以及4楼第三行第一个那种吧，但我不知道怎么证明。

hejoseph

显然有无数种，提供一个构造思路，若
\[
\frac{a}{b}<\frac{x}{y}<\frac{c}{d}
\]
其中 $a$、$b$、$c$、$d$、$x$、$y$ 是正整数，$a$、$b$、$c$、$d$ 已知且上式分数都是最简分数，只要
在区间
\[
\left(\frac{a}{b},\frac{x}{y}\right)，\left(\frac{x}{y},\frac{c}{d}\right)
\]
内无分母比 $b$、$d$ 更小的分数，且 $(x,y)$ 在 $(0,0)$、$(a,b)$、$(2c,2d)$ 所包围或在 $(0,0)$、$(2a,2b)$、$(c,d)$ 所包围的三角形内即满足条件，由此可构造出无数多例子。

例如，我们可以用连分数构造分数 $a/b$ 和 $c/d$
\[
\frac{a}{b}=\{0,1,2\}=\frac{2}{3}，\frac{c}{d}=\{0,1,4\}=\frac{4}{5}，
\]
上面的连分数前面的位都相同，最后一位差相差 $2$，所以
\[
\frac{x}{y}=\{0,1,3\}=\frac{3}{4}
\]
那么点 $(3,4)$ 就在以 $(0,0)$、$(2,3)$、$(8,10)$ 为顶点的三角形内或以 $(0,0)$、$(4,6)$、$(4,5)$ 为顶点的三角形内，且只有唯一整点在这两个三角形内。