2015年华杯赛初一初试中的格点正多边形存在问题

isee

一个网格,小网格都是单位正方形,小明拟以格点为顶点尝试连接出正三角形,正方形,正六边形和正八边形,实际上,小明只能连接出其中()种类型.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
答案还是好猜的，A。

有没有初中范围内的解释（优先）？

其它方法亦可。

我记得在人教时，0.1问过正三角形的情形，我那时也是用的三角函数或者坐标系说理的……

kuing

旧版论坛我扯过：kuingggg.github.io/5d6d/thread-130-1-6.html
竟然被拿来玩初中生……

isee

回复 2# kuing


    华罗庚金杯，奥林匹克数学竞赛，一切皆有可能的。

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旧版论坛我扯过：
竟然被拿来玩初中生……
kuing 发表于 2015-3-17 23:33

    很漂亮，无穷递降法。不过，等边的证明，相对于大于三边的，就“麻烦”了。


对正三形形，可用从面积入手，反证法：


   如果存在格点正三角形ABC，则其面积值为（在格点下，）正三边形的边长的平方一定是有理数，于是面积值是无理数；

   另一方面，A，B，C任两点间的水平（铅垂）距离均为有理数（实为整数），由其面积等于水平宽与铅垂高的乘积的一半，结果为有理数。（或者由皮克定理，或者三角形的行列式面积公式，一目了然为有理数。）

  二者矛盾。

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还有就是三角法，就是将60度分成两角，而这两的正切值均为有理数，再由正切和公式，矛盾。
此法容易推广到一般，不过，产生新问题是 正切值的无理性质。这个更头大。



另外，相关：matrix67.com/blog/archives/4525

isee

当初看到的出发点：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=742727

kuing

回复 4# isee

这个面积法不错