当$z→∞$时$f(z)∼z^{-1}$则$∫_{γ(0,R)}f→1$

hbghlyj

全纯函数$f:\{z:\abs z>1\}\to\mathbb C$满足$$\lim_{z\to\infty}z\cdot f(z)=1$$是否有$$\lim_{R\to\infty}\frac1{2\pi i}\int_{|z|=R}f=1$$

Czhang271828

记 $g(z)=f(z^{-1})$, 则
\[
\lim_{z\to 0}z^{-1}g(z)=1.
\]
此时有
\[
\int_{|z|=R}f(z)\mathrm dz=\int_{|w|=R^{-1}}g(w)\mathrm d(w^{-1})=\int_{|w|=R^{-1}}\dfrac{-w^{-1}g(w)}w\mathrm dw.
\]
此处绕圈方向反向了, 若固定绕圈方向, 则上述积分等价于
\[
\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{|w|=\epsilon}\dfrac{w^{-1}g(w)}w\mathrm dw=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{|w|=\epsilon}\dfrac{1}w\mathrm dw.
\]