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Riemann-Lebesgue Lemma 对 $f\in L^1([0,2π])$ 成立，所以对 $f\in C([0,2π])$ 成立：
\[\int_0^{2\pi} f(x) \sin(n x) \rmd x\to0\]
但对于$f\in C((0,2π))$，$f$不一定$\in L^1$，所以上式不成立.
考虑
\[
\int_0^{2 \pi} \frac{\sin (n x)}{x^\alpha}\rmd x
\]
当$x\to0$，$\frac{\sin (n x)}{x^\alpha}\sim nx^{1-\alpha}$，所以$\alpha>1$时积分发散。
当$\alpha=1$时积分收敛。当$n\to\infty$时积分的极限是$\frac\pi2$：
\[
\int_0^{2 \pi} \frac{\sin (n x)}{x} \rmd x=\operatorname{Si}(2 \pi n)\to\frac\pi2
\]
当$0<\alpha<1$时积分收敛，且$\frac{\sin (n x)}{x^\alpha}\in L^1((0,2\pi))$，由Riemann-Lebesgue Lemma，当$n\to\infty$时积分的极限是0 |
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