三次方程有二重根没有三重根的条件

青青子衿

求三次方程$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$有二重根没有三重根的条件

[Submitted on 12 Apr 2024]
Differentiation of resultants and common roots of pairs of polynomials
Mikhail Chernyavsky, Andrei Lebedev, Yurii Trubnikov
arxiv.org/abs/2404.08550

下面好像不是充要条件
\begin{align*}
\dfrac{2a_2^2-6a_1a_3}{9a_3-a_1a_2}=\dfrac{9a_3-a_1a_2}{2a_1^2-6a_2}
\end{align*}

realnumber

看起来好像简单,三重根的充要条件,方程是这样$(x-m)^3=0$.
那么$a_1=-3m,a_2=3m^2,a_3=-m^3$

二重根没有三重根的充要条件,方程是这样$(x-m)^2(x-n)=0$,m,n不等
那么$a_1=-2m-n,a_2=m^2+2mn,a_3=-nm^2$

lihpb

求导然后辗转相除法再求公因式

kuing

realnumber 发表于 2024-6-8 06:52
看起来好像简单,三重根的充要条件,方程是这样$(x-m)^3=0$.
那么$a_1=-3m,a_2=3m^2,a_3=-m^3$

二重根没有三重根的充要条件,方程是这样$(x-m)^2(x-n)=0$,m,n不等
那么$a_1=-2m-n,a_2=m^2+2mn,a_3=-nm^2$

嗯，所以有三重根的充要条件是 `3a_2=a_1^2` 且 `27a_3=a_1^3`。

有二重根的情况，先消去 `n`：`a_2=m^2+2m(-2m-a_1)`, `a_3=(2m+a_1)m^2`，然后再消去 `m` 得 `a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 4 a_1^3 a_3 + 18 a_1 a_2 a_3 - 27 a_3^2=0`。

那么有二重根且没有三重根的充要条件就是：
\[
a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 4 a_1^3 a_3 + 18 a_1 a_2 a_3 - 27 a_3^2=0
\land
(3a_2\ne a_1^2\lor 27a_3\ne a_1^3). \quad(1)
\]

再看楼主贴出的等式
\[\frac{2a_2^2-6a_1a_3}{9a_3-a_1a_2}=\frac{9a_3-a_1a_2}{2a_1^2-6a_2},\]
它去分母后也是 `a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 4 a_1^3 a_3 + 18 a_1 a_2 a_3 - 27 a_3^2=0`，但由于是分式，分母不能为零，因此上式相当于
\[
a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 4 a_1^3 a_3 + 18 a_1 a_2 a_3 - 27 a_3^2=0
\land
9a_3-a_1a_2\ne0
\land
2a_1^2-6a_2\ne0. \quad(2)
\]

那么问题就是 (1) 和 (2) 是否等价？

通过举例可以说明，比如当 `a_1=1`, `a_2=a_3=0` 时方程为 `x^3+x^2=0`，有二重根 `x=0` 但不是三重根，符合要求，也符合 (1)，但不符合 (2)，不能代入那分式当中，所以不等价。