奇异椭圆曲线 的困惑

hbghlyj

Lectures on Elliptic Curves - J.W.S. Cassels page 40

问题：$\begin{cases}
\gamma^2=C  \\
\frac{y+\gamma x}{y-\gamma x}=r+s \gamma \end{cases}$怎么推出$r^2-s^2 C=1$.

hbghlyj

$r+s \gamma=\frac{(y+\gamma x)^2}{y^2-C x^2}=\frac{y^2+Cx^2}{y^2-Cx^2}+\frac{2xy}{y^2-Cx^2}\gamma$
$\cases{r=\frac{y^2+Cx^2}{y^2-Cx^2}\\s=\frac{2xy}{y^2-Cx^2}}$
可以验证$r^2-s^2C=1$
但这和本段之前的内容有何关系？

hbghlyj

We now have a "twisted" multiplication law on (*).

这句话是什么意思？
看上去(*)是一条二次曲线。在(*)上的乘法？

hbghlyj

曲线$\mathcal{C}$的齐次方程为$Y^2 Z=X^2(X+C Z)$
是不是说，把三次曲线$\mathcal{C}$上的点(x,y,z)对应到二次曲线(*)上的点(r,s)？还是看不懂啊