多项式的正根的个数

hbghlyj

如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数等于相邻的非零系数的符号的变化次数，或者比它依次小2的整倍数；而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的整倍数。

例如，以下的多项式
$ x^{3}+x^{2}-x-1\, $
在第二项和第三项有一个符号变化。因此它正好有一个正根。实际上，我们可以看到，这个多项式可以分解为：
$ (x+1)^{2}(x-1),\, $
因此它的根为−1（二重根）和1。
把奇数次项变号，可得：
$ -x^{3}+x^{2}+x-1.\, $
这个多项式有两个符号变化，因此这个多项式有2个或0个正根，原来的多项式有2个或0个负根。这个多项式可以分解为：
$ -(x-1)^{2}(x+1),\, $
因此根为1（二重根）和−1。

hbghlyj

证明：
在正 $x$ 的不同值处，多项式中的不同项“占主导地位”。因此，每次切换项的符号，曲线的方向都会发生变化。

要么这将导致与 $x$ 轴相交并产生根，
要么曲线的方向必须有另一个变化，这意味着“丢失根”总是成对发生。

因此，正根的个数等于或小于项的符号变化的次数，且差值为偶数。