椭圆曲线二倍点的一个性质

青青子衿

椭圆曲线E/Q: y^2=x^3+q*x^2+A*x+B的二倍点与有理零点之差是平方数


\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
y^2&=x^3+qx^2+A x+B\\
&=(x-a)(x-b)(x-c)\\
X-a&=\frac{\left(x^{2}-2ax+ab+ac-bc\right)^{2}}{4y^2}\\
X-b&=\frac{\left(x^{2}-2bx+ab+bc-ac\right)^{2}}{4y^2}\\
X-c&=\frac{\left(x^{2}-2cx+ac+bc-ab\right)^{2}}{4y^2}\\
X&=[2]{\otimes}x=\frac{\left(3x^{2}+2qx+A\right)^{2}}{4y^2}-q-2x
\end{split}
\right.
\end{align*}

1. K<A,B,q> := FunctionField(Rationals(), 3);  //Magma
2. E := EllipticCurve([0, q, 0, A, B]);  // q=-a - b - c; A=a*b + a*c + b*c; B=-a*b*c
3. F<x,y> := FunctionField(E);
4. E_F := BaseChange(E, F);
5. P := E_F![x,y];
6. 2*P
7. {X - a, X - b, X - c} /. {X -> (3 x^2 + 2*q*x + A)^2/(
8.       4 (x^3 + q*x^2 + A*x + B)) - q - 2 x,
9.     Y -> ((3 x^2 + 2*q*x + A) y)/(
10.        2 (x^3 + q*x^2 + A*x + B)) (3 x + q - (3 x^2 + 2*q*x + A)^2/(
11.          4 (x^3 + q*x^2 + A*x + B))) - y} /. {q -> -(a + b + c),
12.    A -> a b + a c + b c, B -> -a b c} // Factor

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isee

最后一行怎么运算的？

\begin{align*}
X=[2]{\otimes}x=\frac{\left(3x^{2}+2qx+A\right)^{2}}{4y^2}-q-2x
\end{align*}

青青子衿

isee 发表于 2025-1-10 14:46
最后一行怎么运算的？
\begin{align*}
X=[2]{\otimes}x=\frac{\left(3x^{2}+2qx+A\right)^{2}}{4y^2}-q-2x
\end{align*}

实际上就是二倍点的公式，过椭圆曲线$E/Q$上的点$P(x,y)$作切线再交于自身椭圆曲线$E/Q$，就可以得到了二倍点的横坐标
已知$E/Q\colon{}y^2=x^3+qx^2+Ax+B$，过点P(x,y)的切线斜率为隐函数导数
\begin{align*}
y'=-\frac{ \frac{\partial{F}}{\partial{x}} }{ \frac{\partial{F}}{\partial{y}} }=\frac{3x^2+2 q x+A}{2y}
\end{align*}
因为切线过二倍点Q(X,Y)，故切线的方程可写为
\[Y-y=y'\cdot(X-x)\]
又因为二倍点又在椭圆曲线上，所以切线方程代入隐函数公式与椭圆曲线方程本身联立
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
Y-y&=\frac{3x^2+2 q x+A}{2y}\cdot(X-x)\\
Y^2&=X^3+qX^2+AX+B
\end{split}
\right.
\end{align*}
解出该方程组就可以得到二倍点公式了

isee

青青子衿 发表于 2025-1-10 15:16
实际上就是二倍点的公式，过椭圆曲线E/Q上的点P(x,y)作切线，就可以得到了
已知$E/Q: y^2=x^3+q*x^2+A*x+ ...

不不不，是浅层提问，就是问 $[2]\otimes x$ 是什么意思

---

不用回答了，已经超过我的理解了，哈哈哈哈哈，原来是椭圆曲线，我默认为椭圆了

青青子衿

isee 发表于 2025-1-10 15:22
不不不，是浅层提问，就是问 $[2]\otimes x$ 是什么意思

---

形式记号，就是二倍点的意思🙃

kuing

isee 发表于 2025-1-10 15:22
不用回答了，已经超过我的理解了，哈哈哈哈哈，原来是椭圆曲线，我默认为椭圆了

我也困惑，椭圆是二次曲线，椭圆曲线是三次曲线……😆

hbghlyj

kuing 发表于 2025-1-10 11:59
我也困惑，椭圆是二次曲线，椭圆曲线是三次曲线……😆

椭圆曲线不一定是三次曲线。椭圆曲线也可能是四次曲线。

Explicit-Formulas Database / Jacobi quartics
An elliptic curve in Jacobi-quartic form is a curve of the form y^2 = x^4 + 2a x^2 + 1 where a^2-1 is nonzero. The neutral element of the curve is the point (0,1).

A Jacobi-quartic elliptic curve y^2 = x^4 + 2a x^2 + 1 is birationally equivalent to the Weierstrass-form elliptic curve 2v^2 = u^3 - 2au^2 + (a^2-1)u.

A typical point (x,y) on the Jacobi quartic corresponds to the point (u,v) on the Weierstrass curve defined by u = a + (y+1)/x^2, v = u/x.

hbghlyj

四次曲线 $10 x^2+y^2=1+6 x^2 y^2$ 也是一个椭圆曲线

上图就是扭曲爱德华曲线了，样子就像个十字路口，中间是个大转盘。爱德华曲线的简化形式就是a*x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2扭曲爱德华曲线a = 1时候的特例。
github.com/AlexiaChen/AlexiaChen.github.io/issues/103

hbghlyj

若三/四次多項式$g(x)$沒有重根（比如$y^2=x^3+x^2$是genus 0，所以不是橢圓曲線），则$y^2= g(x)$是橢圓曲線(genus 1)。为什么

hbghlyj

能否找出degree >4的椭圆曲线（genus 1 curve）呢？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-10 16:46
能否找出degree >4的genus 1 curve呢？

可以对elliptic curve進行birational transform
例如 $y^2 = x^3 - 1$在$x\dashrightarrow 1/x$下变成$ x^3y^2 = 1 - x^3$
这个过程中genus不变

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-10 16:48
变成 x^3y^2 = 1 - x^3

Sage说确实是1

1. x,y,z =QQ['x,y,z'].gens()
2. C =Curve(x^3*y^2 + x^3*z^2- z^5)
3. C.genus()

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1


如果曲线是必须y^d = f(x)这样的，我感觉好像没有

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-10 16:49
如果曲线是必须y^d = f(x)这样的，我感觉好像没有

网上有个结论说对于y^d = f(x), f(x) polynomial of degree r, 如果 d 整除 r 就没有 ramification at infinity. 所以这样应该就排除了 y^5 = f(x) = x^5 + ... 的情况

degree of ramification凑不出10

如果 y 的次数更小就不知道怎么讨论了

hbghlyj

青青子衿 发表于 2025-1-10 05:44
椭圆曲线E/Q: y^2=x^3+q*x^2+A*x+B的二倍点与有理零点之差是平方数

若$(x_0,0)$是零点，可以作平移$(x, y) \mapsto\left(x-x_0, y\right)$使得常数项为零。

这个是在第7节的开头：

Suppose that $\mathcal{E}$ is an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, together with a $\mathbb{Q}$-rational point of order 2 : $\left(x_0, 0\right)$. After a birational transformation $(x, y) \mapsto\left(x-x_0, y\right)$ we can assume that $(0,0) \in \mathcal{E}(\mathbb{Q})$, so that $Y^2=$ cubic in $X$, with no constant term.

hbghlyj

@青青子衿 的命题的等价表述：
“设$x_0$是$g(x)$的有理零点。椭圆曲线$\mathcal C/\mathbb Q:y^2=g(x)$的二倍点的横坐标与$x_0$之差为有理数的平方。”

进一步，它不仅是 “有理数的平方” 而且是 “$\mathcal D/\mathbb Q$上另一点的横坐标与$x_0$之差的平方”。
其中$\mathcal D:y^2=h(x)$是另一个椭圆曲线，方程在下面给出。
（椭圆曲线$\mathcal D/\mathbb Q$的点的横坐标都为有理数，但不是任意有理数都是$\mathcal D/\mathbb Q$的点的横坐标。）

于是，@青青子衿 的命题可以加强为：

“椭圆曲线$\mathcal C/\mathbb Q:y^2=g(x)$的二倍点的横坐标与$x_0$之差为$\mathcal D/\mathbb Q$的一点的横坐标与$x_0$的差的平方。”

使用上述平移：

hbghlyj 发表于 2025-1-10 19:09
若$(x_0,0)$是零点，可以作平移$(x, y) \mapsto\left(x-x_0, y\right)$使得常数项为零。

这个平移的好处是可以取$x_0=0$，于是可以取$g(x)=x(x^2+ax+b)$，得到简化的命题：

“椭圆曲线$\mathcal C/\mathbb Q:y^2=x(x^2+ax+b)$的二倍点的横坐标为$\mathcal D/\mathbb Q$的一点的横坐标的平方。”
$\mathcal{D}: y^2=x\left(x^2+a_1 x+b_1\right),$ 其中 $a_1=-2 a$, $b_1=a^2-4 b$.

hbghlyj

@青青子衿 的命题的加强：

hbghlyj 发表于 2025-1-10 19:11
“椭圆曲线$\mathcal C/\mathbb Q:y^2=x(x^2+ax+b)$的二倍点的横坐标为$\mathcal D/\mathbb Q$的一点的横坐标的平方。”
$\mathcal{D}: y^2=x\left(x^2+a_1 x+b_1\right),$ 其中 $a_1=-2 a$, $b_1=a^2-4 b$.

证明见第7节。但不需要阅读全部，只需阅读Lemma 7.1.即可，重新整理如下：

Lemma 7.1.
$\mathcal{C}: y^2=x\left(x^2+ax+b\right)$
$\mathcal{D}: v^2=u\left(u^2+a_1 u+b_1\right),$ 其中 $a_1=-2 a$, $b_1=a^2-4 b$.
定义映射 $\phi: \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{D}$ 为 $\phi(x, y)=\left(\left(\frac{y}{x}\right)^2, y-\frac{b y}{x^2}\right)$.
定义映射 $\hat{\phi}: \mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{C}$ 为 $\hat{\phi}(u, v)=\left(\frac{1}{4}\left(\frac{v}{u}\right)^2, \frac{1}{8}\left(v-\frac{b_1 v}{u^2}\right)\right)$.
则 $\hat{\phi} \circ \phi$ 等于 “2倍映射” $[2]:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$.

---

下面使用Lemma 7.1.证明@青青子衿 的命题的加强：
$\mathcal{C}/\mathbb{Q}$上的 "二倍点" 可以写作 $[2](x,y)$，其中 $(x,y)$ 是 $\mathcal{C}/\mathbb{Q}$ 的点。

由Lemma 7.1.得到：$[2](x,y)=\hat{\phi}(\phi(x,y))$，设 $(u,v)=\phi(x,y)$，
由$\hat{\phi}(u, v)$的定义得$[2](x,y)$的横坐标$=\frac{1}{4}\left(\frac{v}{u}\right)^2$，为有理数的平方。证毕。

hbghlyj

青青子衿 发表于 2025-1-10 05:44
椭圆曲线E/Q: y^2=x^3+q*x^2+A*x+B的二倍点与有理零点之差是平方数

如何证明(0,0)是$\mathcal{C}: Y^2=X\left(X^2+a X+b\right)$的二倍点的充要条件是$\cases{b=m^2\\a+2 m=n^2}$有整数解$(m,n)$