三角求值及推广

lemondian

(1)求值：\[\sum_{k=1}^{1012}(-1)^{k+1}\cos\frac{k\pi}{2025}\].

(2)能不能推广这个：
\[\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1}\]

kuing

`m` 为奇数时可以算，偶数估计没得玩。

记
\[F=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\quad(1)\]
当 `m` 为奇数时，由诱导公式，有
\begin{align*}
F&=\sum_{k=1}^n(-1)^k\cos^m\left(\pi-\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\
&=\sum_{k=n+1}^{2n}(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\quad(2)
\end{align*}
式 `(1) + (2)` 得
\[2F=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\quad(3)\]
对上式再次用诱导公式有
\begin{align*}
2F&=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\cos^m\left(2\pi-\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\
&=\sum_{k=2n+2}^{4n+1}(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\quad(4)
\end{align*}
式 `(3) + (4)` 得
\[4F=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1}+\sum_{k=2n+2}^{4n+1}(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\]
再补上 `k=0` 和 `k=2n+1` 的，即
\[4F+(-1)^{0+1}\cos^m0+(-1)^{2n+1+1}\cos^m\pi=\sum_{k=0}^{4n+1}(-1)^{k+1}\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\]
因此
\[4F=2-\sum_{k=0}^{4n+1}(-1)^k\cos^m\frac{k\pi}{2n+1},\]
而上式右边的和式就可以根据 forum.php?mod=viewthread&tid=5332 的结论去算即可。

比如当奇数 `m<2n+1` 时，由链接知最后那和式恒为零，即 `F=1/2`。

而当 `m=2n+1` 时，那和式 `=(2n+1)/2^{2n-1}`，得 `F=1/2-(2n+1)/2^{2n+1}`。

大于 `2n+1` 也可以，总之看链接的 8# 即可。