不等式证明

依然饭特稀

kuing

观察到 $x=y=z$ 取等，故此由柯西有
\[\frac1{1+xy}+\frac1{1+xy}+\frac1{1+xy}+\frac1{1+yz}+\frac1{1+xz}\geqslant \frac{25}{5+3xy+yz+xz},\]
因此只要证
\[3xy+yz+xz\leqslant \frac15,\]
即
\[5(3xy+yz+xz)\leqslant (2x+2y+z)^2,\]
配方得
\[(2x+2y+z)^2-5(3xy+yz+xz)=\frac{15}4(x-y)^2+\frac14(x+y-2z)^2,\]
于是得证。

其妙

思路顺畅，妙！

kuing

或者这样
\begin{align*}
\frac3{1+xy}+\frac1{1+yz}+\frac1{1+xz}&\geqslant \frac{12}{4+(x+y)^2}+\frac4{2+(x+y)z} \\
& =\frac{48}{16+(1-z)^2}+\frac8{4+(1-z)z},
\end{align*}
而
\[\frac{48}{16+(1-z)^2}+\frac8{4+(1-z)z}-\frac{125}{26} =\frac{(5z-1)^2(5z^2-13z+28)}{26(z^2-2z+17)(4+z-z^2)}\geqslant 0,\]
即得证。

其妙

回复 4# kuing
居然还有这种消元呀！牛笔！

依然饭特稀

谢谢