今天一学生问的指数不等式问题

等待hxh

realnumber

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    你的学生好厉害啊，试了下似乎有$f(x)=x^b+b^c-x^c,1>x\ge b$是增函数．
如果能证明成立，那么只需要x=b成立即可，而这个代入即得．


求导，即要证明$ba^{b-1}-ca^{c-1}>0$
构造函数$g(t)=\ln{(ta^{t-1})},0<t\le a $,对t求导，即要证明$\frac{1}{t}+\ln{a}>0$,即$a^t>\frac{1}{e}$
左边为t的减函数，只需要证明t=a成立即可,即，只需要证明$a^a>\frac{1}{e}$.左边相应的函数$h(x)=x^x,x>0$取对数，求导，得$x=\frac{1}{e}$时，最小．所以１楼不等式成立．

kuing

又一个漂亮的幂指不等式，楼上可以拿来研究下，看能不能整点推广。

PS、to 楼主，一行的题目，何不试试代码输入？

realnumber

１楼的条件，从几何画板图象看，可以修改为$a,b,c\in (0,1)$,证明很简单．

其妙

这里有：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102uwck.html

realnumber

回复 5# 其妙


    en ,是我想复杂了