2014安徽初赛

wzxsjz

请帮帮忙，谢谢！
设动点$P(t,0),Q(1,t),$其中参数$t\in[0,1],$则线段$PQ$扫过的平面区域的面积是__________

realnumber

想简单了，我错了

kuing

照搬《数学空间》2013年第4期总第14期P38那个方法就行了。

设 $x_0\in(0,1)$，当 $0<t<1$ 时，直线 $x=x_0$ 与直线 $PQ$ 交于 $K(x_0,y_0)$，易得
\[y_0=\frac{t}{1-t}(x_0-t)=-(1-t)-\frac{1-x_0}{1-t}+2-x_0\leqslant -2\sqrt{1-x_0}+2-x_0,\]
等号显然总能取到，于是，点 $\bigl( x_0,-2\sqrt{1-x_0}+2-x_0 \bigr)$ 必在 $PQ$ 扫过的区域的边界曲线上，亦即边界曲线的解析式为
\[y=-2\sqrt{1-x}+2-x, \]
于是所求面积为
\[\int_0^1-2\sqrt{1-x}+2-x\rmd x=\frac16.\]

战巡

回复 1# wzxsjz


怕毛，硬来就行了
易求曲线族为$F(x,y,t)=\frac{t}{1-t}(x-t)-y=0$
联立方程：
\[\begin{cases} F(x,y,t)=0\\ \frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=0\end{cases}\]
\[\begin{cases} t(x-t)=y(1-t)\\ x-t(2-t)=0\end{cases}\]
并消掉参数$t$可得包络线方程：
\[y=2-2\sqrt{1-x}-x\]
面积积分可得：
\[S=\int_{0}^1(2-2\sqrt{1-x}-x)dx=\frac{1}{6}\]

其妙

这里有初赛的所有试题和解答：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102uwlb.html

isee

这样看来，想用几何变换是不可能的喽

wzxsjz

谢谢各位