特殊矩阵的特征多项式是否有规律？特征根呢?

其妙

上面的矩阵的特征多项式是否有规律？特征根呢？最大特征根和最小特征根有无规律？
拓展到四阶、n阶矩阵有无规律？谢谢！

hbghlyj

实对称矩阵的特征多项式的所有复根都是实数。
Lemma 8.19. If $\lambda$ is an eigenvalue of a self-adjoint linear operator then $\lambda \in \mathbb{R}$.
Proof. Assume $w \neq 0$ and $T(w)=\lambda w$ for some $\lambda \in \mathbb{C}$. Then
\begin{aligned}
\lambda\langle w, w\rangle & =\langle w, \lambda w\rangle=\langle w, T(w)\rangle=\left\langle T^*(w), w\right\rangle \\
& =\langle T(w), w\rangle=\langle\lambda w, w\rangle=\bar{\lambda}\langle w, w\rangle .
\end{aligned}Hence, as $\langle w, w\rangle \neq 0, \lambda=\bar{\lambda}$ and $\lambda \in \mathbb{R}$.