数列不等式 $|a_n-a_{n+1}/2|\le1$

realnumber

a=b=-1,c=0.5
这样上界至少比2.25大

阿鲁

回复 21# realnumber

O，我感觉错了

isee

选择题的第8题也是不好写啊

游客

乌贼

14题
在平面$ABC$作$AE\perp CD$于$E$，过$AE$作一平面切以$B$为球心，$BA$为半径的球得球切园，$F,O$分别为$AP,AC$的中点。
\[AP\perp FD,AP\perp FB\riff AP\perp BE\]有点$P$在园上。$PQ$为$\triangle PAE$的高即为四面体$P-BCD$的高。当$D$点在$O$的左边时:设$OD=x\riff AP=AD=\sqrt3-x,AE=\dfrac{\sqrt3-x}{\sqrt{x^2+1}}$
\[PQ=\dfrac12(\sqrt3-x)(\sqrt3+x)\riff V_{P-BCD}\le\dfrac{\sqrt3}4\](当$x=0$时取得)
当$D$点在$O$的右边时:$TM$的运算……
不如代数设点$P(x_0,y_0,z_0)$，联立$AP=AD,PB=2$及$PA\perp BD$求得\[x_0=f(CD)\]来得快……不懂空间垂线斜率

乌贼

回复 17# realnumber
真的没有知识点？

乌贼

by人教论坛鄂L爱好者求学

原来有知识，读书少差点被蒙 是数感

游客

回复 25# 乌贼


    点P在以D为球心，DA为半径的球面上；点P还在以B为球心，BA为半径的球面上。
先假定D的位置，很显然能确定P的位置，然后就是计算。

力工

回复 16# 游客


    排除法。
A. a=4 b=-5 c=-21即可
B. c=0,a2 b=0即可，a,b可以很大
C. c=0,a b=0即可，a,b可以很大
所以答案选D时非常容易的。
D的证明粗略想了一下是假设不成立，接下来先用三角不等式，然后判断出a,b都在-2到2之间，这样c就必须很大，不等式没办法满足，所以显然是小于100的。

力工

回复 17# realnumber

@阿鲁，@realnumber,仅是数感吗？不会有什么鬼直观背景？

力工

回复 20# realnumber


    上界很难求。表示自己求不出。

realnumber

回复 31# 力工
只是一个上界，不是上确界.看看我们能够找到多小的.

阿鲁

令 $b=-\dfrac12(1+\sqrt{5-4a-4a^2})$, $c=\dfrac12(3-2a^2+\sqrt{5-4a-4a^2})$，则易知 $a^2 + b + c=1$, $a + b^2 - c=0$，
此时 $a^2+b^2+c^2=a^4-4a^2-2a+5+(2-a^2)\sqrt{5-4a-4a^2}$，
画图可知这个函数大概在 $a=-0.23$ 处取最大值，约为 $9.9$，那么上确界不小于此值。
竟然能这么大，感觉完全错了……
要是能证出 $a^2+b^2+c^2<10$，那就已经很精确了……

realnumber

\[\abs{a^2+b+c}+\abs{a+b^2-c}\le1\]
可得
\[\abs{a^2+b+c+a+b^2-c}\le1 ，\abs{a^2+b+c-a-b^2+c}\le1\]
\[(a+0.5)^2+(b+0.5)^2\le 1.5 ,\abs{2c}\le 1+\abs{a^2+b-b^2-a}\]
令$a+b=x,a-b=y$
\[(x+1)^2+y^2\le 3,得到x^2+y^2\le (1+\sqrt{3})^2,\abs{y}\le \sqrt{3},\abs{x}\le 1+\sqrt{3}\]
\[a^2+b^2+c^2\le \frac{(1+\abs{a^2+b-a-b^2})^2}{4}+a^2+b^2=\frac{(1+\abs{xy-y})^2}{4}+\frac{x^2+y^2}{2}\]
\[a^2+b^2+c^2\le \frac{(1+\sqrt{3}(2+\sqrt{3}))^2}{4}+\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}=9+5\sqrt{3}\]
等号自然取不到.