来自减压群的一道四元不等式（号称形式简单证明难）

kuing

话说下午我的减压群里：

角声寒，夜阑珊 (1608******)  13:59:22
有哪些形式简单却很难证明的不等式？
zhihu.com/question/37593579
a,b,c,d∈R+
a+b+c+d=6
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)≤27

思路其实是简单的，因为很明显待定系数均值是可行的，然而具体的系数计算却有点麻烦，主要是有三次方程，所以下面的证法已经被我隐藏了待定的计算步骤，可以算是装B解法

设
\[t=\frac2{\sqrt3}\cos\frac\pi{18},\]
利用 `\sqrt3/2=\cos(3\cdot\pi/18)` 以及三倍角公式，可知 `t` 满足 `3t^3=3t+1`，令
\begin{align*}
x&=3t^2-t-1,\\
y&=2t+1,\\
m&=6t^2-3t-2,\\
n&=3t^2+3t+1,
\end{align*}
不难证明它们都是正的，记 `f=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)`，显然只需考虑 `a\geqslant b\geqslant c\geqslant d` 的情况即可，由均值不等式，有
\begin{align*}
f&=\frac1{txymn}x(a-b)\cdot t(a-c)\cdot y(b-c)\cdot(a-d)\cdot m(b-d)\cdot n(c-d)\\
&\leqslant\frac1{txymn}\left( \frac{x(a-b)+t(a-c)+y(b-c)+a-d+m(b-d)+n(c-d)}6 \right)^6\\
&=\frac1{txymn}\left( \frac{(x+t+1)a+(m-x+y)b+(n-t-y)c-(1+m+n)d}6 \right)^6,
\end{align*}
不难计算出 `x+t+1=m-x+y=n-t-y=3t^2`, `1+m+n=9t^2`，所以
\[f\leqslant\frac{(3t^2)^6}{txymn}\left( \frac{a+b+c-3d}6 \right)^6,\]
利用 `3t^3=3t+1` 化简右边的系数，有
\begin{align*}
(3t^2)^6&=9(3t^3)^4\\
&=9(3t+1)^4\\
&=9\bigl(3t^3(27t+36)+54t^2+12t+1\bigr)\\
&=9\bigl((3t+1)(27t+36)+54t^2+12t+1\bigr)\\
&=9(135t^2+147t+37),
\end{align*}
用同样的方式可以化简分母，过程懒得再写了，反正最后会得出
\[txymn=\frac13(135t^2+147t+37),\]
从而
\[f\leqslant27\left( \frac{a+b+c-3d}6 \right)^6\leqslant27.\]

注1：为了能取等，这里应该允许变量取零，至于具体的取等就懒得写了。

注2：此解法不需要事先知道右边的 `27`，因为 `27` 是最后才化出的。

isee

回复 1# kuing


也许看分析法还过瘾些

色k

回复 2# isee

看分析法是啥意思，要看我隐藏的计算？

lemondian

回复 3# 色k


    对，对。。。

dahool

哎，这题是可以拿来坑人了！哈哈

isee

回复  isee

看分析法是啥意思，要看我隐藏的计算？
色k 发表于 2018-7-23 09:46

不必不必，左右都不看不懂的。。