2013卓越联盟自主招生试题

aishuxue

设$x>0,$
$(1)$证明：$e^{x}>1+x+\dfrac{1}{2}x^2;$
$(2)$证明：$e^{x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^2e^y,$证明：$0<x<y.$

aishuxue

不好意思，打错了，第2问要证得是$0<y<x$

isee

第一问，若用$y=e^x$在$x=0$处的Tayloy公式直接秒了

不这，这些东东忘记得差不多了，还是等懂来解决

kuing

回复 3# isee

不用 taylor 也行，求两次导即可。

kuing

第二问直接解出
\[y=\ln\bigl(2(e^x-1-x)\bigr)-2\ln x,\]
则
\[x-y=x+2\ln x-\ln\bigl(2(e^x-1-x)\bigr)=f(x),\]
求导得
\[f'(x)=\frac{2e^x-2-2x-x^2}{x(e^x-1-x)},\]
正好由第一问得……略

其妙

回复 5# kuing

战巡

回复 3# isee


第二问泰勒一样秒啊.......
\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)x^2}{2},\xi\in(0,x)\]

kuing

回复 7# 战巡


PS、代码是 \xi

睡神

这题也作自招题？那么简单有神马好玩啊…
第一问：令$f(x)=\dfrac{1+x+\dfrac{1}{2}x^2}{e^x},x>0$
第二问：令$g(x)=\dfrac{(1-\dfrac{1}{2}x^2)e^x}{1+x},x>0$

其妙

都很妙！

isee

2013年广东理数，最后一题与第一问最后化简后，差不多
kkkkuingggg.haotui.com/thread-1638-1-1.html

也是偶 和 睡神 一样，也是用的商，比较方便

其妙

解（1）令 $f(x)=e^x-1-x-\frac{1}{2} x^2, f^{\prime}(x)=e^x-1-x, f^{\prime \prime}(x)=e^x-1>0(x>0)$ ， $f^{\prime}(x)$ 单调递增且 $f^{\prime}(0)=0$ ，所以 $f^{\prime}(x)>0$ ；从而 $f(x)$ 单调递增且 $f(0)=0$ ，所以 $f(x)>0$ ，得证 $x>0$ 时 $e^x>1+x+\frac{1}{2} x^2$ ．
（2）由（1）知 $e^x=1+x+\frac{1}{2} x^2 e^y>1+x+\frac{1}{2} x^2, e^y>1, y>0$ ；
\[
e^y-e^x=\frac{\left(2-x^2\right) e^x-2-2 x}{x^2}, \text { 令 } g(x)=\left(2-x^2\right) e^x-2-2 x \text {, }
\]
$g^{\prime}(x)=\left(2-2 x-x^2\right) e^x-2, \quad g^{\prime \prime}(x)=\left(-4 x-x^2\right) e^x<0 \quad(x>0), \quad g^{\prime}(x)$ 单调递减且 $g^{\prime}(0)=0$ ，所以 $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减且 $g(0)=0$ ，所以 $g(x)<0$ ，从而 $e^y<e^x$ 得 $y<x$. 综上 $0<y<x$ ．

icesheep

\[{e^x} > 1\]
\[\int\limits_0^x {{e^x}{\text{d}}x}  > \int\limits_0^x {{\text{d}}x} \]
\[{e^x} - 1 > x\]
\[{e^x} > 1 + x\]
\[\int\limits_0^x {{e^x}{\text{d}}x}  > \int\limits_0^x {\left( {1 + x} \right){\text{d}}x} \]
\[{e^x} - 1 > x + \frac{{{x^2}}}{2}\]
\[{e^x} > 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2}\]

其妙

回复 13# icesheep
反其道而行之！

战巡

回复 13# icesheep


噗...积分变量和上下限变量一样......经典错误啊....

icesheep

回复  icesheep


噗...积分变量和上下限变量一样......经典错误啊....
战巡 发表于 2013-11-1 01:23

    换个变量这种事自行脑补。。。