求两点电荷的电场线方程

青青子衿

电偶极子的电场线

此图既有等势线，也有电场线，它们相互正交！！

其妙

回复 1# 青青子衿
来了数学，又来物理，左右开弓啊？

kuing

先求电势的等值面方程，不妨设电偶极子的坐标 $q^+:(1,0)$, $q^-:(-1,0)$，平面上任一点 $M(x,y)$ 的电势为 $U$，则
\[U=\frac q{4\pi\veps}\left( \frac1{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}-\frac1{\sqrt{(x+1)^2+y^2}} \right),\]设电场线方程为 $f(x,y)=0$，由于正交，有 $\nabla U\cdot \nabla f=0$，即
\[U_xf_x+U_yf_y=0,\]对于 $f$，因为 $\rmd y/\rmd x=-f_x/f_y$，故
\[U_x\rmd y=U_y\rmd x,\]即
\[\left( \frac{x+1}{\sqrt{((x+1)^2+y^2)^3}}-\frac{x-1}{\sqrt{((x-1)^2+y^2)^3}} \right)\rmd y=\left( \frac y{\sqrt{((x+1)^2+y^2)^3}}-\frac y{\sqrt{((x-1)^2+y^2)^3}} \right)\rmd x,\]$f$ 就是由这个微分方程确定，不知怎么解，估计解不出来。

其妙

强中更有强中手！
让我们怀疑kk是不是北大（或其他校）的学生哦？

kuing

回复 4# 其妙

其实我也不知道有没有错，这些东东都没正式学过……

青青子衿

回复 2# 其妙
不是也很有趣吗？
数学与物理本身就是密不可分的，解决数学问题可以用物理方法，如：求曲率半径、求最速降线、极小曲面……，解决物理问题可以用数学方法，如：变力做功，求转动惯量……
牛顿最有名的书不也是《自然哲学的数学原理》吗！

Infinity

学一点复变函数就简单了。或者参见流体力学中的势流理论。

青青子衿

《大学物理学习指导 概念解析与一题多解》

青青子衿

电场线(the field lines)
\begin{align*}
\frac{q_{1}\left(x-R\right)}{\sqrt{\left(x-R\right)^{2}+y^{2}}}+\frac{q_{2}\left(x+R\right)}{\sqrt{\left(x+R\right)^{2}+y^{2}}}=C
\end{align*}
等势线(the equipotential lines)
\begin{align*}
\frac{q_{1}}{\sqrt{\left(x-R\right)^{2}+y^{2}}}+\frac{q_{2}}{\sqrt{\left(x+R\right)^{2}+y^{2}}}=C
\end{align*}
两个等量同种点电荷（即q1=q2时）的等势线为与两定点距离的倒数和为定值的曲线
【注】两个等量同种点电荷点电荷的等势线也被称为凯莱卵形线(Cayley ovals)
利用MMA绘制电场线与等势线

2. R = 1;
3. Manipulate[
4. Show[
5.   ContourPlot[
6.    q1 (x - R)/Sqrt[(x - R)^2 + y^2] +
7.     q2 (x + R)/Sqrt[(x + R)^2 + y^2], {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
8.    Contours -> 15, ContourShading -> None, ImageSize -> 500],
9.   ContourPlot[
10.    q1/Sqrt[(x - R)^2 + y^2] + q2/Sqrt[(x + R)^2 + y^2], {x, -3,
11.     3}, {y, -3, 3}, Contours -> 15, ContourShading -> None,
12.    ContourStyle -> Dashed]
13.   ], {{q1, 0.5, "\!\(\*SubscriptBox[\(Q\), \(1\)]\)"}, -2, 2,
14.   Appearance -> "Labeled"}, {{q2, -1,
15.    "\!\(\*SubscriptBox[\(Q\), \(2\)]\)"}, -2, 2,
16.   Appearance -> "Labeled"}]

复制代码

kuing

回复 9# 青青子衿

效果8错

hbghlyj

续 3# kuing 的解法

$$\left( \frac{x+1}{\sqrt{((x+1)^2+y^2)^3}}-\frac{x-1}{\sqrt{((x-1)^2+y^2)^3}} \right)\rmd y=\left( \frac y{\sqrt{((x+1)^2+y^2)^3}}-\frac y{\sqrt{((x-1)^2+y^2)^3}} \right)\rmd x,$$

学习了8#的解法1以后,我们可以把这个微分方程解出来:
令$u=\frac{x+1}y,v=\frac{x-1}y$,得
$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}y-u \frac{\mathrm{d}y}y,\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}x}y-v\frac{\mathrm{d}y}y$$$\left( \frac{u}{\sqrt{(u^2+1)^3}}-\frac{v}{\sqrt{(v^2+1)^3}} \right)\rmd y=\left( \frac1{\sqrt{(u^2+1)^3}}-\frac1{\sqrt{(v^2+1)^3}} \right)\rmd x$$$$\iff-\frac{\mathrm dx-u\mathrm dy}{\sqrt{(u^2+1)^3}}=\frac{\mathrm dx-v\mathrm dy}{\sqrt{(v^2+1)^3}}$$$$\iff-\frac{\mathrm du}{\sqrt{(u^2+1)^3}}=\frac{\mathrm dv}{\sqrt{(v^2+1)^3}}$$$$\iff\int-\frac{\mathrm du}{\sqrt{(u^2+1)^3}}=\int\frac{\mathrm dv}{\sqrt{(v^2+1)^3}}$$$$\iff-\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}+C=\frac v{\sqrt{v^2+1}}$$$$\iff\frac{x-1}{\sqrt{\left(x-1\right)^{2}+y^{2}}}+\frac{x+1}{\sqrt{\left(x+1\right)^{2}+y^{2}}}=C$$

hbghlyj

demonstrations.wolfram.com/LinesOfForceForTwoPointCharges 写道，代换$\cases{\xi=\left(r_1+r_2\right) / R\\\eta=\left(r_1-r_2\right) / R}$可得到简单的方程。比笛卡尔坐标下的方程形式更简单吗
\[\phi(\xi, \eta)=\frac{q_1}{2 R(\xi+\eta)}+\frac{q_2}{2 R(\xi-\eta)}\]
the equation
\[
\nabla \phi(\xi, \eta) \cdot \nabla \psi(\xi, \eta)=0
\]
The solution
\[
\psi(\xi, \eta)=\frac{1}{\xi^2-\eta^2}\left[q_1\left(\xi-\eta+\xi^2 \eta-\xi \eta^2\right)+q_2\left(-\eta+\xi^2 \eta+-\xi+\xi \eta^2\right)\right]
\]