代数题

Darth_Maboroshi

令 $n, m\in \mathbb{N}$
证明：
$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\tensor}{\otimes}$
\[\Z/n\Z \tensor \Z/m\Z \simeq \Z/\mathrm{gcd}(m, n)\Z\]

Darth_Maboroshi

推广: 令 $R$ 为一个有单位的交换环，$I, J$是其理想, 则
\[R/I \otimes_R R/J \simeq R/(I + J)\]

abababa

回复 2# Darth_Maboroshi
发网友的证明，完全看不懂啊。
前面网友还说了“需要定义I+J并明确单位的意义，这里我就当单位是指幺元1”

lalala

这个其实就是中国剩余定理

hbghlyj

lalala 发表于 2021-3-19 05:54
这个其实就是中国剩余定理

错了. 中国剩余定理是$R/(I∩J)≅R/I\oplus R/J$.

Tensor in coordinate rings
Atiyah-McDonald Exercise 2.3
Tensor product of quotient of modules.
Tor and IJ=I∩J: Eisenbud exercice A3.17
Tensor of quotients
For two ideals I and J prove that I(R/J)=(I+J)/J

hbghlyj

abababa 发表于 2021-2-8 12:23
回复 2# Darth_Maboroshi
发网友的证明，完全看不懂啊。
前面网友还说了“需要定义I+J并明确单 ...

Keith Conrad - tensor product
Theorem 4.3. For ideals $I$ and $J$ in $R$, there is a unique $R$-module isomorphism
$$R/I ⊗_R R/J \cong R/(I + J)$$where $\bar x ⊗\bar y \mapsto\overline{xy}$. In particular, taking $I = J = 0$, $R ⊗_R R \cong R$ by $x ⊗ y \mapsto xy$.

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-3-19 01:27
Keith Conrad - tensor product
Theorem 4.3. For ideals $I$ and $J$ in $R$, there is a unique $R$-mo ...

一般研究的都是模同构吧, 毕竟Abel 范畴比交换环范畴(假定环含幺)好太多了...

下面尝试研究环同构. 这里有个问题: 给定环同态 $\pi: R\to R/I$ 与 $\rho: R\to R/J$, $R$-模张量积 $R/I\otimes R/J$ 是自然的; 但如何通定义交换环的张量积? 一般定义张量积的方法是 Tensor-Hom 伴随, 然而交换环没这个, 所以还是通过泛性质入手吧.

此处泛性质从双平衡映射入手, 则定义交换环关于 $R$ 的张量积 $R/I\otimes R/J$ 应定义为商环 $(R/I\times R/J)/\sim $. 其中, 商去
\begin{align*}
&(a+b+I,c+J)-(a+I,c+J)-(b+I,c+J)\\
&(a+I,c+d+J)-(a+I,c+J)-(a+I,d+J)\\
&(ra+I,c+J)-(a+I,rc+J)\\
\end{align*}
生成的理想. 记 $a\otimes b$ 为张量积中的元素, 即 $(a+I,b+J)$ 在商环中的像. 注意到
$$
a\otimes b=(a+i)\otimes b=1\otimes (ab)+1\otimes (ib).
$$
其中 $i$ 是 $I$ 中对象. 我们自然发现 $R/I\otimes R/J$ 无非 $R/(I+J)\otimes R/(I+J)\simeq R/(I+J)$, 定义双射为
$$
R/I\otimes R/J\simeq R/(I+J),\quad (x+I)\otimes (y+J)\mapsto xy+I+J.
$$
更快捷的方法是依照"商环 $R/I$ 比 $R$-模 $R/I$ 有更精细的结构", 验证 $R$-模同构兼容环结构即可.