这个积分从左到右这一步是如何变过去的？

TSC999

见下图，积分的最终结果等于 Pi/2，这个不需要再演算了。

我的问题是从左到右这一步是如何变过去的？

战巡

回复 1# TSC999

考察
\[\int_0^\pi(\frac{\pi}{2}-x)|\cos(x)|\sin(x)dx\]
令$y=\frac{\pi}{2}-x$，就有
\[原式=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}y|\sin(y)|\cos(y)dy\]
注意这玩意明摆着奇函数，积分值就是$0$，于是...

abababa

其实那个是任意的$\sin x$的函数都成立。因为
\[\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx\xlongequal{x=\pi-t}\int_{\pi}^{0}(\pi-t)f(\sin(\pi-t))d(\pi-t)=\int_{0}^{\pi}(\pi-t)f(\sin t)dt=\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx-\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx\]

然后一移项就好了。

isee

和什么区间再现很像

TSC999

谢谢各位老师的解答！ 把老师们的解答整理如下：

isee

回复 5# TSC999


尝试下 TeX 数学公式，论坛里二级页面(即看帖子状态下)最下面就有代码即时展示区，kuing 曰 草稿本，也很形象