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源自知乎提问，似乎大家不太关心取“=”
题：设非负函数 $f\in \mathrm R[a,b],$ 证明不等式
$$\left(\int_a^b f(x)\cos x \mathrm{~d}x\right)^2+\left(\int_a^b f(x)\sin x\mathrm \ dx\right)^2\leqslant\left(\int_a^b f(x) \mathrm {~d}x\right)^2.$$
学习了其它答主的解法，直接给本题一个文字过程.
由柯西不等式积分形式有
$$\left(\int_a^b f(x) \mathrm{~d}x\right) \left(\int_a^b f(x)\cos^2 x \mathrm{~d}x\right)\geqslant \left(\int_a^b f(x)\cos x \mathrm{~d}x\right)^2,$$
同理有
$$\left(\int_a^b f(x) \mathrm{~d}x\right) \left(\int_a^b f(x)\sin^2 x \mathrm{~d}x\right)\geqslant \left(\int_a^b f(x)\sin x \mathrm{~d}x\right)^2,$$
两式相加即证. |
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