$Tx=(\frac{\xi_1}{1},\cdots,\frac{\xi_n}{n},\cdots)$，求$\|T\|$

abababa

$T$是平方可和数列上的线性算子，满足$Tx=(\frac{\xi_1}{1},\cdots,\frac{\xi_n}{n},\cdots)$，其中$x$是平方可和数列$(\xi_1,\cdots,\xi_n,\cdots)$。求$\|T\|$。
我算出来小于等于那部分，怎么找到一个元素让它大于等于呢？
\begin{align*}
\|T\|
&=\sup_{\|x\|\neq0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}
=\sup\frac{(\sum_{k=1}^{\infty}(\xi_k \cdot \frac{1}{k})^2)^{\frac{1}{2}}}{(\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k^2)^{\frac{1}{2}}}\\
&\le\sqrt{\frac{(\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k \cdot \frac{1}{k})^2}{\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k^2}}
\xlongequal{\text{Cauchy不等式}} \sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k})^2}{\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k^2}}
=\frac{\pi}{\sqrt{6}}
\end{align*}

Czhang271828

$\|Tx\|\leq \|x\|$

abababa

回复 2# Czhang271828
这是为什么呢？如果这样的话，那就有$\|T\|\le1$，怎么证明呢？

谢谢，我明白了，因为对任意的$n$都有$(\frac{\xi_n}{n})^2\le\xi_n^2$，所以$\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{\xi_k}{k})^2\le\sum_{k=1}^{\infty}\xi_k^2$，这样把分子放缩成和分母一样，就得到$\|T\|\le1$了，然后再取$x_0=(1,0,0,\cdots)$就有$\|T\|\ge1$，最后就是$\|T\|=1$。