两两不交的不可数个开集之并，能否等于可数个开集之并

abababa

两两不交的不可数个开集之并，能否等于可数个开集之并？

不知道我说没说清楚，比如以全体无理数为中心，1为半径构成了不可数个开集之并，并起来等于$\mathbb{R}$，但$\mathbb{R}$还能用以全体有理数为中心，1为半径构成的可数个开集之并表示。不过这里无理数那个开集两两相交了，如果要求两两不交，还能不能有这样的表示？

Czhang271828

回复 1# abababa

任意开集之并仍为开集, 题主加一点限定?

abababa

回复 2# Czhang271828

任意多开集之并还是开集没错，但主楼问的是不可数个开集之并，能不能等于可数个开集之并。就像紧致集那样，有有限覆盖定理来保证，但有限覆盖定理没有要求这些集合两两不交。主楼问的应该是下面这样的：
\[A=\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha},B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\]

其中$\Lambda$是一个不可数的指标集，并且$A_{\alpha}$是两两不交的开集，$B_n$都是开集。那是否存在$B$那样的集合，使得$A=B$。

abababa

回复 1# abababa

其实我觉得这是不可能的。假设存在那样的集合$B$，则$A=B$，也就是$A\subseteq B$，于是对于$A_{\alpha},A_{\beta}\subseteq A$，必定存在$\{B_n\}$中的两个子序列$B_{1k},B_{2k}$（$B_{1k},B_{2k}$的元素可以相同），分别覆盖$A_{\alpha}$和$A_{\beta}$，就是$A_{\alpha}\subseteq \bigcup_{k}B_{1k}, A_{\beta}\subseteq \bigcup_{k}B_{2k}$。假设$A_{\alpha}\subset \bigcup_{k}B_{1k}$，则存在一个点$x\in \bigcup_{k}B_{1k}\in B$，但点$x\not\in A_{\alpha}\subset A$，这与$A=B$矛盾，因此只能$A_{\alpha}=\bigcup_{k}B_{1k}$，同理对每个$A$中的参与并运算的集合，都必须完全与$B$中的一个序列的并相等，构成一一对应，但$\Lambda$是不可数集，而$B$中的所有序列是可数个可数集，仍是可数集，因此不能相等。

我觉得我这个证明的意思说清了，如果没有错误的话就是不能相等，但在具体的表达上总觉得还有问题。

Czhang271828

回复 4# abababa

我们证明一个一般性的结论: $\mathbb R^n$ 中的开集一定能唯一地表示至多可数个连通开集的无交并. 即对任意开集 $U\subset\mathbb R^n$, 存在一族指标 $|\Lambda|\leq|\mathbb N|$ 使得 $U_\lambda(\lambda\in\Lambda)$ 均为开集, 且 $U_{\lambda_1}\cap U_{\lambda_2}=0$ 若且仅若 $\lambda_1\neq\lambda_2$.
1. 对任意 $p\in U$, 存在极大连通开集 $U_p$ 使得 $p\in U_p$.
2. 记 $\cup_{p\in U}\{U_p\}$ 为所有极大连通开集之集合 (此处合并相同项). 显然 $\cup_{p\in U} U_p=U$.
3. 由于 $\mathbb R^n$ 满足 $C_2$ 公理, 从而 $\mathbb Q^n$ 在 $\mathbb R^n$ 中稠密. 由于一切极大连通开集至少包含了一个有理点, 故 $U$ 可写作至多可数个连通开集的不交并.

abababa

回复 5# Czhang271828

第2条没有看懂，是不是符号上有什么问题？最后那个$U_{p\in U}U_p$，第一个$U$是并集吗？
但这个和主楼问的也不是同一个问题，因为首先要证明第一行构造出来的$U$不是由两两不交的开集之并形成的，这个在构造里没有说明。主楼的问题是不可数个开集之并中，参与并的集合要两两不交，而可数个开集之并，是可以两两相交的。

Czhang271828

回复 6# abababa

第二点处的笔误已更正, 感谢提醒.

我已将原回答的第一行修改作更精简的结论: $\mathbb R^n$ 中的开集一定能唯一地表示至多可数个连通开集的无交并. 即对任意开集 $U\subset\mathbb R^n$, 存在一族指标 $|\Lambda|\leq|\mathbb N|$ 使得 $U_\lambda(\lambda\in\Lambda)$ 均为开集, 且 $U_{\lambda_1}\cap U_{\lambda_2}=0$ 若且仅若 $\lambda_1\neq\lambda_2$.

在第二点里, 我将 $U$ 中一切极大连通开集提取出来. 不同的极大连通开集 $U_v$ 与 $U_w$ 一定不相交, 反之其相交处的任意一点所在的极大连通开集一定是 $U_v\cup U_w$, 如此造成矛盾.

abababa

回复 7# Czhang271828

我突然觉得这个有点像开集构造定理：$\mathbb{R}$中的任意一个开集都能表示成至多可数个互不相交的开区间之并。但这个对$\mathbb{R}^n,n>1$不成立。

现在假设就在$\mathbb{R}^1$中讨论，然后这个定理就说明任意一个开集，一定能表示成$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$的形式，其中$B_n$是开集。但这样的话就需要证明3楼等号左边那个了：任意一个开集（它由右边的$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$表示），能不能表示成不可数个不相交的开集之并？这里应该是把相等的集合算作一个，不然并上不可数个空集就能行了。

Czhang271828

abababa 发表于 2022-4-10 12:22
回复 7# Czhang271828

我突然觉得这个有点像开集构造定理：$\mathbb{R}$中的任意一个开集都能表示成至多 ...

通常拓扑下, $\mathbb R^n$ 中的开集 $\Omega$ 确实可以写成至多可数个开区域的不交并啊. 还是一样的思路:

1. $\forall x\in \Omega$, $x$ 唯一地属于某个的极大连通集.
2. 每个极大连通集中有内点, 从而包含有坐标为理数的点.
3. 由于有理点至多可数, 从而 $\Omega$ 为至多可数个极大连通集之并.

注: 极大连通开集=极大道路连通开集=开区域.

abababa

Czhang271828 发表于 2022-5-23 20:47
通常拓扑下, $\mathbb R^n$ 中的开集 $\Omega$ 确实可以写成至多可数个开区域的不交并啊. 还是一样的思路 ...

其实你一直都没弄清楚我这帖里想说的意思，可能是我没写清楚。现在简化一些，就在$\mathbb{R}$里考虑，有定理：一个开集$S$能写成可数个互不相交的开区间之并，这是已经知道的。现在我的问题是：开集$S$能不能同时写成不可数个互不相交的开集之并。

Czhang271828

abababa 发表于 2022-5-23 21:06
其实你一直都没弄清楚我这帖里想说的意思，可能是我没写清楚。现在简化一些，就在$\mathbb{R}$里考虑，有 ...

$\mathbb R^n$ 中显然不可能啊, 比方说 $(1,2)\cup (2,3)\cup(3,4)$ 可以写成很多种不交开集之并, 但根据 Zorn 引理, 这个分划的极大元 (最细的分划) 唯一存在, 也就是我说的不交开区域之并.

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还是考虑 $\mathbb R^n$ 中情形, 用反证法也行, 我们断言 "开区域(极大连通开集)之不交并" 这一种划分是最细的 (根据定义, 开集写成开区域之不交并的方式唯一). 反之, 若这种划分并非比所有可行划分更细, 则存在一种划分使得存在开区域里的某个元素 $x,y$ 属于新划分里的不同开集. 由于 $x,y$ 道路连通, 矛盾!

abababa

Czhang271828 发表于 2022-5-23 21:11
$\mathbb R^n$ 中显然不可能啊, 比方说 $(1,2)\cup (2,3)\cup(3,4)$ 可以写成很多种不交开集之并, 但根据 ...

经过学习，终于证明出了$\mathbb{R}^n$中任意一个开集都能写为至多可数个连通开集之并。

我对“极大连通开集”的定义不太清楚，是不是指道路连通里的“连通分支”？

11楼里说的用佐恩引理证明存在分划极大元，这个是怎么证明的？要怎么建立序关系才行？

Czhang271828

abababa 发表于 2022-9-4 20:11
经过学习，终于证明出了$\mathbb{R}^n$中任意一个开集都能写为至多可数个连通开集之并。

我对“极大连通 ...

取 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 为开集, 记 $P$ 为 $\mathbb R^n$ 中含于 $\Omega$ 的连通开集构成的集合, 即
\[
P=\{U\subset \Omega\mid U\text{ 为 }\mathbb R^n \text{ 中的连通开集}\}.
\]
那么 $(P,\subset)$ 为偏序集 (连通开集构成的偏序), $P$ 中极大元即极大连通开集.

abababa

Czhang271828 发表于 2022-9-7 10:26
取 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 为开集, 记 $P$ 为 $\mathbb R^n$ 中含于 $\Omega$ 的连通开集构成的集合 ...

谢谢，我明白了。原来要构造一个集合的集合才行，开始我一直考虑开集$A\subseteq\mathbb{R}^n$作为整个集合，通常的点作为元素，就没弄出这个关系来。