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Last edited by hbghlyj 2025-5-16 04:15我们想用选择公理（Axiom of Choice, AC）来证明：对于实数集 $\mathbb{R}$ 的每个开区间 $(a,b)$，可以从每个区间中选出一个元素，并且选出来的元素彼此不同。
🔁 问题的重述：
设 $\mathcal{I}$ 是所有实数的开区间组成的集合，即$$ \mathcal{I} = { (a, b) \subset \mathbb{R} \mid a < b } $$我们要证明存在一个选择函数$$ f: \mathcal{I} \to \mathbb{R} $$使得：- 对于每个 $(a,b) \in \mathcal{I}$，有 $f((a,b)) \in (a,b)$；
- 并且如果 $(a,b) \ne (c,d)$，则 $f((a,b)) \ne f((c,d))$，即从不同的区间中选出的数两两不同。
🧠 证明思路（使用选择公理）
第一步：从每个开区间中选出一个点每个 $(a,b) \in \mathcal{I}$ 是一个非空集合（因为 $a < b$），因此可以构成如下的集合族：$$ \mathcal{F} = { (a,b) \mid a < b \in \mathbb{R} } $$这是一个非空集合族，其每个成员都是非空集合（因为 $(a,b)$ 总是含有无穷多个元素）。根据选择公理，对于这样的集合族 $\mathcal{F}$，存在一个选择函数 $f$，使得$$ f((a,b)) \in (a,b) \quad \text{对每个 } (a,b) \in \mathcal{F} $$所以我们可以选出一个函数：$$ f: \mathcal{I} \to \mathbb{R}, \quad f((a,b)) \in (a,b) $$但此时我们还没有保证选出来的点彼此不同。
第二步：增强要求——选出不同的点我们现在考虑的问题更强一点：不仅要从每个区间中选点，还要求选出来的点两两不同。这个要求相当于给 $\mathcal{I}$ 上定义一个可列或任意基数的集合族的不相交选择问题。我们要找一个集合 $S \subseteq \mathbb{R}$，满足：- $S$ 至多有与 $\mathcal{I}$ 同样多的元素（即大小为 $|\mathcal{I}|$）；
- 对于每个 $(a,b)\in \mathcal{I}$，$S \cap (a,b)$ 非空；
- 并且对不同的 $(a,b)$，从 $S$ 中选出的点彼此不同。
这相当于说，我们要从集合族 ${ (a,b) }_{(a,b)\in \mathcal{I}}$ 中作一个互异选择函数。这是一个典型的选择公理的加强应用场景：从每个非空集合中选出一个元素，使得选出的元素彼此不同。
✅ 使用选择公理构造这样的函数
考虑 $\mathcal{I}$ 的势（基数）。每个开区间 $(a,b)$ 可唯一编码成一个有序对 $(a,b) \in \mathbb{R}^2$，所以：$$ |\mathcal{I}| = |{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 : a < b }| \leq |\mathbb{R}^2| = \mathfrak{c} $$所以 $\mathcal{I}$ 的势为 $\mathfrak{c}$，即连续统势。我们要从 $\mathfrak{c}$ 个非空集合（即开区间）中选择一个互不相同的元素，总共也只需要 $\mathfrak{c}$ 个不同的实数。由于 $\mathbb{R}$ 本身就有 $\mathfrak{c}$ 个元素，这是可能的。因此：- 使用选择公理，从每个开区间中选出一个点；
- 然后我们用选择公理的强化版本（例如Zorn 引理或良序原理），给 $\mathbb{R}$ 赋予良序，从中按顺序为每个区间选出集合中最小的、尚未被用过的点；
- 因为 $\mathcal{I}$ 与 $\mathbb{R}$ 基数相同，这是可行的。
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