区间个数问题

73Dsi

定义$b-a$为区间$[a,b]$的长度(无论开闭), 区间$[0,4\pi]$可以被划分为$k$个区间, 且$f(x)=\sin x$在这$k$个区间内的值域的长度均相等, 则$k$的所有可能值为________.

Czhang271828

依照单调区间给出 上-下-上-下-上 的单调区间, 依次称作第 $i$ 段($1\leq i\leq 5$). 依次考虑如下情形

① 自然地, 将第 $1$ 段分作 $n$ 部分, 则 $k=8n$. 若合并 $i$ 段末尾与 $i+1$ 段开头, 则\[k=8n,8n-1,8n-2,8n-3, 8n-4.\]

② 若第 $2$ 段可被分作 $2n+1$ 个区间, 则第 $1$ 段的末尾冗余处可与第二段开头合并(第 $5$ 段处中心对称), 共 $k=8n+3$ 段.

③ 基于情形 ②, 可以将第 $3$ 段中的某个等分区间化作两段冗余, 故 $k=8n+2$ 可以.

④ 基于情形 ②, 可以将第 $2$ 段中的某个等分区间化作两段冗余, 第 $4$ 段同理, 故 $k=8n+1$ 可以.

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Czhang271828 发表于 2023-2-9 22:08
依照单调区间给出 上-下-上-下-上 的单调区间, 依次称作第 $i$ 段($1\leq i\leq 5$). 依次考虑如下情形

① ...

明白了,谢谢!