Goodstein定理

hbghlyj

Goodstein定理说的是，Goodstein数列一定会在有限步收敛到0。

Goodstein数列是这样的：首先选取一个正整数g₁，比如设g₁=18，然后把它写成2的次幂之和的形式（18 = 2⁴+ 2¹），再把大于2的指数也写成2的次幂的形式，如果改写后得到的表达式中还有大于2的指数，则再继续把这样的数字写成2的次幂的形式，直到所有出现的数字都小于等于2，最后得到，

g₁=2²²+2¹

这种写法叫Hereditary Base 2 Notation。g₂是把g₁的这种写法中所有的2都换成3，得到的新数字再减1，也就是，

g₂=3³³+3¹-1

注意到这是个非常大的数，约等于7.6×10¹²。再继续下去，把g₂写成3的次幂的形式，一直到不出现大于3的数字，然后把3换成4，得到的数再减1，就得到了g₃。以此类推，不断计算下去，就得到了一个数列，这个数列就是Goodstein数列。

下面我们以g₁=18为例，看看数列的前几项：

g₁=2²²+2¹=18

g₂=3³³+3¹-1=3³³+2×3⁰=7.6×10¹²

g₃=4⁴⁴+2×4⁰-1=4⁴⁴+4⁰=1.3×10¹⁵⁴

g₄=5⁵⁵+5⁰-1=5⁵⁵=1.9×10²¹⁸⁴

只看这几项，我们一定会认为这个数列以极快的速度发散到无穷。事实上，这个数列会在有限步骤收敛到0。

Goodstein定理是一个容易看懂的算术命题，其证明可以通过集合论、良序定理以及超限序数等理论和知识来完成。大概思路就是使用超限序数ω构造一个与Goodstein数列平行的数列，这个新数列的每一项都不小于Goodstein数列的对应项，且这个新数列是递减的，必然在有限步后会收敛到0。

Goodstein定理在集合论中的证明过程不长，简单易懂。但是在皮亚诺公理体系下是不可证的。