用$\|C\|<1$判断$1\pm C$可逆

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Neumann_series
Suppose that $T$ is a bounded linear operator on the normed vector space $X$. If the Neumann series converges in the operator norm, then $\text{Id}-T$ is invertible and its inverse is the series:$$(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}$$
例子:
考虑三阶实矩阵
\[C=\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}\]
我们需要证明 $C$ 的某个范数小于1。 因此，我们计算行和范数：
\[\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1.\]
因此，我们从上面的定理知道 $(I\pm C)^{-1}$ 存在。

hbghlyj

$(1-C)^{-1}$存在,则$(1-C^n)^{-1}$存在,这个对吗{:shock:}

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2022-10-26 05:08
$(1-C)^{-1}$存在,则$(1-C^n)^{-1}$存在,这个对吗{:shock:}

$\color{grey}{C-I=:}A$ 是可逆矩阵, 则 $(A+I)^n-I$ 是否可逆? 即便 $A$ 没有零特征值, $(A+I)^n-I$ 总有可能会有吧. 举个例子:

$[1-(-1)]^{-1}$ 存在, $(1-(-1)^2)^{-1}$ 显然不存在.