圆环点，迷向直线和拉格尔定理

hbghlyj

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二次曲线的度量性质就是在正交变换下的不变性质，正交变换不仅保持无穷直线不变，而且保持无穷远直线上的一对共轭点一圆环点不变。圆环点及相关理论是讨论二次曲线度量性质的理论基础，拉格尔定理是一大难点，从证明到应用不易掌握。本文归纳圆环点，迷向直线的性质，拉格尔定理及推论，并举例以加深对圆环点、迷向直线性质的理解，掌握拉格尔定理的应用。
1 圆环点与迷向直线
定义1 共轭复点$I(1,i,0),J(1,-i,0)$称为圆环点（无穷远直线与圆的交点）。
性质1 二次曲线是圆的充要条件是它经过圆环点
定义2 过圆环点的非无穷远直线叫迷向直线
性质2 迷向直线满足平行性，极小性，迷向性
平行性：迷向直线是两束平行的虚直线
极小性：迷向直线上任意两个非圆点的距离为0
迷向性：迷向直线与其它直线的交角不定
迷向直线是经过圆环点$I$或$J$的直线，所以迷向直线构成两个以$I$或$J$为中心的平行线束，其中斜率分别为$i$或$-i$.过$I(1,i,0)$点的迷向直线方程是$y=ix+b$,$i$为斜率。
过$J(1,-i,0)$点的迷向直线方程是$y=-ix+b$,$-i$为斜率。其中$b$为实数。由于迷向直线上的任何两点间的距离是零，所以迷向直线也叫极小直线
2 拉格尔定理及推论
拉格尔定理：设两条非迷向直线$l_1$与$l_2$的交角为$\theta$，那它们上的无穷远点为
$P_1$、$P_2$, 交比 $\mu=\left(P_1 P_2, I J\right)$, 则在对数函数主值范围内
\[
\theta=\frac{1}{2 i} \ln \mu .
\]
推论 1^[3]: 两条非迷向直线垂直的充要条件是这两条直线与过它们的交点的两条迷向直线调和共轭.
证明 必要性: 若直线 $l_1$ 与 $l_2$ 垂直, 则 $\theta=\frac{\pi}{2}$, 由拉格尔定理得
\begin{align*}
\frac{\pi}{2} &=\frac{1}{2 i} \ln \mu \\
i \pi &=\ln \mu
\end{align*}
即 $\mu=e^{i \pi}$
又 $e^{i \pi}=\cos \pi+i \sin \pi=-1$
所以
\[
\mu=\left(l_1 l_2, m_1 m_2\right)=-1
\]
充分性：若 $\left(l_1 l_2, m_1 m_2\right)=-1$
则$\mu=e^{2 i \theta}=-1⇒2 \theta=\pi⇒\theta=\fracπ2$
拉格尔定理除了 “两条非迷向直线垂直的充要条件是这两条直线与过它们 的交点的两条迷向直线调和共轭. "这一重要推论外,还可以推出:
推论 2: 圆的任一对共轭直径都垂直.
证: 设 $l 、 \bar{l}$ 为圆的任意一对共轭直径, 则它被渐近线调和分割, 所以
\[
( OIOJ, \bar{l})=-1
\]
根据拉格尔定理推论, 得 $l \perp \bar{l}$.
推论 3: 设 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点中无三点共线, 若
\[
\angle A C B=\angle A D B
\]
则 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点共圆.
证: 因为 $\angle A C B=\angle A D B$, 所以有
\[
C(A B, I J)=D(A B, I J)
\]
故
\[
C(A, B, I, J) \bar{\wedge} D(A, B, I, J)
\]
根据二次曲线的射影定义知 $A$、$B$、$I$、$J$ 以及 $C$、$D$ 六点在一条二次曲线上, 又因为二次曲线经过 $I$、$J$ 两点, 所以 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点共圆.
3 应用
以下举例说明圆环点，迷向直线和拉格尔定理及其推论的应用
例1^[2] 求证：退化的二次曲线如果通过两个圆点，则必是一对共轭虚线.
证明 退化的二次曲线在适当的齐次射影坐标系里，方程的形式为\[\tag1
a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+a_{22} x_2^2=0
\]
因为它通过圆点 $I(1, i, 0), J(1,-i, 0)$, 则
\[
\begin{aligned}
&a_{11}-a_{22}+2 a_{12} i=0 \\
&a_{11}-a_{22}-2 a_{12} i=0
\end{aligned}
\]
所以 $a_{12}=0, a_{11}=a_{22}$
又因为 $a_{11} \neq 0, a_{22} \neq 0$
(1) 式可以写成
\[\tag2
x_1^2+x_2^2=0
\]
方程 (2) 表示一对共轭虚直线.
例 2 利用圆环点的性质求二次曲线的焦点公式.
解 设二次曲线 $\Gamma$
\[
\left(x_1 x_2 x_3\right) A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=0,\quad A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
\]
(1) 设 $E(y)$ (其中 $y=\left(y_1, y_2, y_3\right)$ 为 $E$ 点的坐标) 为平面上任一点 $(E \in \Gamma)$, 求 $\Gamma$ 过点 $E$ 的切线 $l_1, l_2$ 的方程, 如图 1 所示:

图 1

过点$E$任作直线$l$，取一定点$x(x_1,x_2,x_3)$, 点$P$为直线$l$上任一点，则
\[
P=y+\gamma x
\]
若 $P \in \Gamma$, 则 $(y+\gamma x) A\left(y^{\prime}+p^{\prime}\right)=0$, 可得
\[
y A y^{\prime}+2 y A x^{\prime}+\gamma^2 x A x^{\prime}=0\tag1
\]
方程 (1) 仅有重根时, $l \equiv l_1$, 或 $l \equiv l_2$.从而切线 $l_1, l_2$ 的方程为
\[\tag2
\left(y A x^{\prime}\right)^2-\left(y A y^{\prime}\right)\left(x A x^{\prime}\right)=0
\]
(2)若 $E$ 为焦点, 根据焦点的定义, 圆点 $I(1, i, 0)$, $J(1,-i, 0)$ 在切线 $l_1, l_2$ 上.
方程(2)表示二次曲线, 二次曲线为圆的充要条件是它经过圆点, 故
\[
\left[\left(a_{11} y_1+a_{21} y_2+a_{31} y_3\right) x_1+\left(a_{12} y_1+a_{22} y_2+a_{32} y_3\right) x_2+\left(a_{13} y_1+a_{23} y_2+a_{33} y_3\right) x_3\right]^2
\]
$-\left[y A y^{\prime}\right]\left[a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+a_{33} x_3^2+2 a_{12} x_1 x_2+2 a_{23} x_2 x_3+2 a_{13} x_1 x_3\right]=0$
为一圆的方程.
$x_1^2, x_2^2$ 的系数相等, $x_1 x_2$ 的系数为零, 可得
\begin{cases}
\left(a_{11} y_1+a_{21} y_2+a_{31} y_3\right)^2-a_{11}\left[y A y^{\prime}\right]=\left(a_{12} y_1+a_{22} y_2+a_{32} y_3\right)^2-a_{22}\left[y A y^{\prime}\right]\\
\left(a_{11} y_{1}+a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}\right)\left(a_{12} y_{1}+a_{22} y_{2}+a_{32} y_{3}\right)=a_{12}\left[y A y^{\prime}\right]
\end{cases}即焦点的坐标满足上述方程组，可得求焦点公式：
\begin{cases}\left(a_{11}-a_{22}\right)\left[y A y^{\prime}\right]=\left(a_{11} y_{1}+a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}\right)^{2}-\left(a_{12} y_{1}+a_{22} y_{2}+a_{32} y_{3}\right)^{2} a_{12} \\ a_{12}\left[y A y^{\prime}\right]=\left(a_{11} y_{1}+a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}\right)^{2}\left(a_{12} y_{1}+a_{22} y_{2}+a_{32} y_{3}\right)\end{cases}
例3 椭圆 $\Gamma$ 有且仅有一对主轴（非圆）。证明(1)椭圆至少有一对主轴，椭圆$\Gamma$上有两个无穷远点$P_1,P_2$,如图2所示

hbghlyj

Cayley–Klein metric
...Another important insight was the Laguerre formula by Edmond Laguerre (1853), who showed that the Euclidean angle between two lines can be expressed as the logarithm of a cross-ratio
$$\phi =\abs{\frac 1{2i}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_1,I_2,P_1,P_2)}$$
where:

• $\operatorname{Log}$ is the principal value of the complex logarithm
• $\operatorname{Cr}$ is the cross-ratio of four collinear points
• $P_1$ and $P_2$ are the point at infinity of the lines
• $I_1$ and $I_2$ are the intersections of the absolute conic, having equations $x_0=x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$, with the line joining $P_1$ and $P_2$.

The expression between vertical bars is a real number.

Laguerre formula can be useful in computer vision, since the absolute conic has an image on the retinal plane which is invariant under camera displacements, and the cross ratio of four collinear points is the same for their images on the retinal plane.

isee

漂亮~不过，这是高等几何内容，学的人甚少

hbghlyj

复射影平面（complex projective plane），通常记作$\mathbb{CP}^2$，是二维复射影空间。它是一个复流形，由三个复坐标描述
\[(z_1,z_2,z_3) \in \mathbb{C}^3,\qquad (z_1,z_2,z_3)\neq (0,0,0)\]
但这里差一个整体缩放的三元组是等同的：
\[(z_1,z_2,z_3) \equiv (\lambda z_1,\lambda z_2, \lambda z_3);\quad \lambda\in \mathbb{C},\qquad \lambda \neq 0.\]
这就是说，它们是射影几何的传统意义下的齐次坐标。