数列求最近整数

依然饭特稀

$\an$ 满足 $a_1=1, a_{n+1} a_n=a_n^2+2 a_n+1$ ，则使得 $\left|\sqrt{a_{2018}}-m\right|$ 值最小的整数 $m=$
A． 62
B． 63
C． 64
D． 65

realnumber

6.3557284779258807E+001是$\sqrt{a_{2018}}$的值63.56，那么m取64
程序算的
var
  i:longint;
  a,b:real;
begin
  a:=1;
  for i:=1 to 2017 do
  begin
    b:=a+1/a+2;
    a:=b;
  end;
  writeln(sqrt(a));
end.

realnumber

可用数学归纳法证明$2n-1<a_n<2n+1+\ln n$
通项公式应该解不出的，所以就用不等式去估计，$a_{n+1}=a_n+2+\frac{1}{a_n}>a_n+2$这样得到左边，右边一个凑的，一开始$2n+1+\frac{1}{n}$试了下不对，换成$\ln{n}$就成立了，好吧，原因也不是很明白，当然不是唯一的.也总有更好的办法.

战巡

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显然我们有
\[a_{n+1}=a_n+2+\frac{1}{a_n}>a_n+2\]
于是有
\[a_n>2n-1\]
但实际上可以更进一步，因为$a_2=4$，对于$n>2$，有$a_n>2n$
另一方面有
\[a_{n+1}-a_n=2+\frac{1}{a_n}\]
\[a_n-a_1=2(n-1)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_k}=2(n-1)+a_1+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{a_k}\]
\[a_n=2n+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{a_k}<2n+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{2k}<2n+\frac{1}{2}\ln(n-1)\]

最终带入$n=2018$会有
\[\sqrt{2·2018}<\sqrt{a_{2018}}<\sqrt{2·2018+\frac{1}{2}\ln(2017)}\]
\[63.5295<\sqrt{a_{2018}}<63.5595\]

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kuing

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可是 bn 这个递推的放缩处理通常也是先两边平方