抛物线的等宽曲线的尖点

hbghlyj

focal length（从顶点到焦点的距离）为$a$的抛物线的参数方程$\cases{x=2at\\y=at^2}$
使用以下公式: 曲线$(f(t)\quad g(t))^T$距离为$c$的parallel curve为\[\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}+\frac{c}{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}\begin{pmatrix}g^\prime(t)\\-f^\prime(t)\end{pmatrix}\]得到parallel curve参数方程\begin{align*}x&=2at+\frac{ct}{\sqrt{1+t^2}}\\y&=at^2-\frac{c}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}对应的笛卡尔方程比较复杂：\begin{align*}x^2 \left(-8 a^3 y+x^2 \left(a^2-10 a y-3 c^2+y^2\right)-20 a^2 c^2+32 a^2
y^2+2 a c^2 y-8 a y^3+3 c^4-2 c^2 y^2+x^4\right)&=\\(c-y) (c+y) \left(4 a(a-y)+c^2\right)^2\end{align*}由$x'=y'=0$解得$c=-2 a \left(t^2+1\right)^{3/2}$
因为$a>0$, 所以存在奇点的条件为$c\le-2a$
MathWorld

Asymptote: 取$a=1$, 在下图可以看到, 当$c\le-2$时, 曲线有尖点.	Mathematica
import graph; size(10cm); for (int c=-5; c<=5; ++c) {   path g=graph(new pair(real t) { return (2*t + c*t/sqrt(1+t^2),t^2- c/sqrt(1+t^2));},-5, 5);   draw(g,L=Label(string(c),Relative(0.2),S,red+fontsize(8)),green); }

尖点- 维基百科
由皮瑟级数相关定理可知，$F$是解析函数，则在座标线性变换后，在尖点附近可将曲线参数化成以下形式：\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}其中$a$是实数，$m$是正偶数，$S(t)$是$k$阶的幂级数且$k>m$。