五尖瓣线

hbghlyj

$\left(\frac{3}{5}\cos\left(t\right)-\frac{2}{5}\cos\left(t-\frac{5t}{2}\right),\frac{3}{5}\sin\left(t\right)-\frac{2}{5}\sin\left(t-\frac{5t}{2}\right)\right),0\le t\le 4\pi$是一个五角形的曲线,我们来计算它的长度.

1. a = {(3 Cos[t])/5 - 2/5 Cos[t - (5 t)/2], (3 Sin[t])/5 - 2/5 Sin[t - (5 t)/2]};
2. Integrate[Norm[D[a, t]], {t, 0, 4 Pi}]

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得到答案为$48\over5$.
再来计算它的面积(中间的部分是被重复算了的)

1. Integrate[Det[{a, D[a, t]}], {t, 0, 4 Pi}]/2

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得到答案为$6π\over25$

青青子衿

Pentacuspoid（五尖瓣线）
用这个可以求出交点来
\begin{align*}
\dfrac{3\sin\left(t\right)-2\sin\left(\frac{3t}{2}\right)}{3\cos\left(t\right)+2\cos\left(\frac{3t}{2}\right)}=\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)
\end{align*}

\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x&=\frac{3}{5}\cos(t)+\frac{2}{5}\cos\left(\frac{3t}{2}\right)\\
y&=\frac{3}{5}\sin(t)-\frac{2}{5}\sin\left(\frac{3t}{2}\right)
\end{split}
\right.
\end{align*}



\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x&=\frac{t^{6}+15t^{4}-45t^{2}+5}{5\left(1+t^{2}\right)^{3}}\\
y&=\frac{8t^{3}\left(5-3t^{2}\right)}{5\left(1+t^{2}\right)^{3}}
\end{split}
\right.
\end{align*}

\begin{align*}
\left(\frac{1+\sqrt{5}}{16},\frac{1+\sqrt{5}}{16}\tan\frac{\pi}{5}\right)
\end{align*}

另外，无重叠的面积也可以得到

\begin{align*}

S=\frac{12}{5}\arctan\left[\sqrt{265+118 \sqrt{5}-2 \sqrt{30\left(1165+521 \sqrt{5}\right)}}\,\right]-\frac{3 \sqrt{15}}{160}
\end{align*}

五角星面积（非重叠）的MMA数值验算
*****

1. Clear["Global`*"]
2. reg = ListLinePlot[
3.   Table[{3 Cos[t]/5 + 2 Cos[3 t/2]/5,
4.     3 Sin[t]/5 - 2 Sin[3 t/2]/5}, {t, 0, 4 Pi, 0.001}], Filling -> 0,
5.   AspectRatio -> Automatic]
6. Cases[Normal@reg, _Polygon, -1] // RegionUnion // Area
7. 12/5 ArcTan[Sqrt[
8.     265 + 118 Sqrt[5] - 2 Sqrt[30 (1165 + 521 Sqrt[5])]]] - (
9.   3 Sqrt[15])/160 // N

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kuing

isee

回复 3# kuing


太尖了，要是小一点，或孤向外不能好看些

kuing

回复 4# isee

还在调试中，刚才你看到太尖应该是我只用了 fill 的时候，现在用 filldraw，填充的浅色些且有透明度。

isee

回复 5# kuing

嗯好一点了

PS: TiKZ 加载还挺快的

爪机专用

回复 6# isee

现在用的并不是tikzjax

isee

回复 7# 爪机专用

hbghlyj

用tikzjax运行3#的代码,显示 LaTeX Error: Environment aligned undefined.然后我把aligned改成了array,并把&号去掉,公式显示仍不正常.然后我把公式删掉了,只留下那个曲线,就正常了.
奇怪了,前几天不会遇到的跨域问题,现在又出来了??
现在好像仅当打开着inspector时才不会出现跨域问题,太奇怪了...

下面是我这边生成的svg:

hbghlyj

下面是香蕉空间由3#代码生成的svg:

hbghlyj

就是到香蕉空间的首页的编辑页把3#的代码粘贴进去,点击显示预览就得到了.
它的原理应该和upmath差不多,但是编辑器更好看一些(在GitHub上有tikz2svg的后台的代码,是用Node.js写成的).
类似的将tikz转换为svg的app有:
github.com/FlorianRappl/tikz.js/
github.com/Ximik/tex2svg/

青青子衿

里面的“曲边五边形”可以用如下代码验算

1. u = 4 ArcTan[
2.     Sqrt[265 + 118 Sqrt[5] - 2 Sqrt[30 (1165 + 521 Sqrt[5])]]];
3. v = 4 ArcTan[
4.     Sqrt[265 - 118 Sqrt[5] - 2 Sqrt[30 (1165 - 521 Sqrt[5])]]];
5. rega = ListLinePlot[{Reverse[
6.     Table[{3 Cos[t]/5 + 2 Cos[3 t/2]/5,
7.       3 Sin[t]/5 - 2 Sin[3 t/2]/5}, {t, u, v, 0.0001}]],
8.    Flatten[{Table[{t, -Tan[2 Pi/5] t}, {t, (1 - Sqrt[5])/16, 0.001,
9.        0.0001}],
10.      Table[{t, Tan[Pi/5] t}, {t, 0, (1 + Sqrt[5])/16, 0.01}]}, 1] },
11.   Filling -> {1 -> {2}}, AspectRatio -> Automatic]
13. Sx = Cases[Normal@rega, _Polygon, -1] // RegionUnion // Area
14. Swbx = 5*Sx
15. (6 \[Pi])/
16.   25 - (12/5 ArcTan[
17.       Sqrt[265 + 118 Sqrt[5] -
18.         2 Sqrt[30 (1165 + 521 Sqrt[5])]]] - (3 Sqrt[15])/160) // N

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kuing

回复 2# 青青子衿

我得出一个更简洁的面积表达式：

首先为方便起见，将 1# 的参数方程作置换 `t\to2t`，即
\[
\led
x&=\frac35\cos2t+\frac25\cos3t,\\
y&=\frac35\sin2t-\frac25\sin3t,
\endled
\quad t\in[0,2\pi],
\]
如果将它转化为极坐标，那就有
\begin{align*}
\tan\theta&=\frac{3\sin2t-2\sin3t}{3\cos2t+2\cos3t},\\
\rho^2&=\frac{(3\cos2t+2\cos3t)^2+(3\sin2t-2\sin3t)^2}{25},
\end{align*}
则
\[
\frac{\rmd\theta}{\rmd t}=\frac{\rmd}{\rmd t}\left( \arctan\frac{3\sin2t-2\sin3t}{3\cos2t+2\cos3t} \right),
\]
因为
\[
\left( \arctan\frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{f(x)^2+g(x)^2},
\]
故
\begin{align*}
\frac{\rmd\theta}{\rmd t}
&=\frac{6(\cos2t-\cos3t)(3\cos2t+2\cos3t)+6(\sin2t+\sin3t)(3\sin2t-2\sin3t)}{(3\cos2t+2\cos3t)^2+(3\sin2t-2\sin3t)^2}\\
&=\frac6{25}\cdot\frac{1-\cos5t}{\rho^2},
\end{align*}
（化出来的式子如此简洁，相信有更简单的推导方法或直观解释）
现在，考虑曲线与原点的连线构成的面积 `S`，则有
\[
\rmd S=\frac12\rho^2\rmd\theta=\frac3{25}(1-\cos5t)\rmd t,
\]

记上图蓝色交点处对应的 `t` 的值为 `t_b`，蓝色部分区域面积为 `S_b`，则
\[
S_b=\frac3{25}\int_0^{t_b}(1-\cos5t)\rmd t=\frac3{25}t_b-\frac3{125}\sin5t_b,
\]
所以只要求出 `t_b` 即可。

为求 `t_b`，先求图中绿点处对应的 `t`，令 `y=0`，即
\[3\sin2t-2\sin3t=0,\]
分解为
\[2\sin t(1-\cos t)(1+4\cos t)=0,\]
解得几个 `t` 为
\[t_1=0,t_2=\pi-\arccos\frac14,t_3=\pi,t_4=2\pi-t_2,\]
这里 `t_1` 为最右边那个尖，`t_2` 就是绿点的了，而且是由左上往右下走的那条边的交点（`t_4` 是另一条）。

由图形的对称性，蓝点 与 最右边的尖点 对应的 `t` 的差 等于 绿点 与 左上尖点 对应的 `t` 的差，而左上尖点的 `t` 显然为 `2\pi/5`，故 `t_b-0=t_2-2\pi/5`，所以
\[
t_b=\frac35\pi-\arccos\frac14,
\]
代回 `S_b` 中，即
\[
S_b=\frac9{125}\pi-\frac3{25}\arccos\frac14-\frac3{125}\sin\left( 5\arccos\frac14 \right),
\]
因为
\[\sin5x=\sin x(5-20\sin^2x+16\sin^4x),\]
且 `\sin\left( \arccos\frac14 \right)=\frac{\sqrt{15}}4`，代入化简即得
\[
\sin\left( 5\arccos\frac14 \right)=\frac{5\sqrt{15}}{64},
\]
所以
\[
S_b=\frac9{125}\pi-\frac3{25}\arccos\frac14-\frac{3\sqrt{15}}{1600},
\]
由对称性，整个五尖瓣线的面积（非重叠）就是它的十倍，因此最终结果为
\[
\bbox[#CFF,15px]{
\frac{18}{25}\pi-\frac65\arccos\frac14-\frac{3\sqrt{15}}{160}.
}
\]

路在脚下

回复 13# kuing


    6666

青青子衿

我得出一个更简洁的面积表达式：

\[\bbox[#CFF,15px]{
\frac{18}{25}\pi-\frac65\arccos\frac14-\frac{3\sqrt{15}}{160}.
}\]

kuing 发表于 2021-12-31 01:16

\[\frac{3}{5}\pi-\arccos\frac14=2\arctan\left[\sqrt{265+118 \sqrt{5}-2 \sqrt{30\left(1165+521 \sqrt{5}\right)}}\,\right]\]

hbghlyj

青青子衿 发表于 2021-12-3 00:06
Pentacuspoid（五尖瓣线）

Google搜索Pentacuspoid只有1条结果(本帖)
Google搜索Pentacuspid有85条结果	Wiktionary释义:  Having five cusps.

青青子衿

hbghlyj 发表于 2023-1-18 01:54
Google搜索Pentacuspoid只有1条结果(本帖)|
Google搜索Pentacuspid有85条结果|Wiktionary释义:  Having f ...

可是三尖瓣线的英文都是"Tricuspoid"
那为什么五尖瓣线的英文不能是"-cuspoid"结尾呢？

hbghlyj

青青子衿 发表于 2024-12-29 04:56
可是三尖瓣线的英文都是"Tricuspoid"
那为什么五尖瓣线的英文不能是"-cuspoid"结尾呢？ ...

主动脉瓣通常有三个瓣叶，该结构将升主动脉与作为心脏主要泵室的左心室分开。极少数情况下，有些人的主动脉瓣天生有一个瓣叶或四个瓣叶

五尖瓣主动脉瓣 (PAV) 是一种罕见的先天性心脏缺陷，当主动脉瓣有五个瓣叶而不是正常数量时就会发生这种情况：Pentacuspid aortic valve with severe aortic regurgitation

hbghlyj

青青子衿 发表于 2024-12-29 04:56
可是三尖瓣线的英文都是"Tricuspoid"
那为什么五尖瓣线的英文不能是"-cuspoid"结尾呢？ ...

四五尖瓣线的英文也是Quadricuspid