$\binom{2n}n$求和

hbghlyj

Hall and Knight - Higher Algebra page 497:
证明$$\sum_{i=1}^n\frac{1\cdot3\cdots(2i-3)}{i!}\left(\frac{1}{2}\right)^i=1-{1\cdot3\cdot5\cdot7 \ldots \ldots(2 n-1)\over2^nn}$$($i=1$时,空积为1)

hbghlyj

在Catalan number的证明见过

The square root term can be expanded as a power series using the identity
$$\sqrt{1+y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{4^{n}(2n-1)}}{2n \choose n}y^{n}$$

和Catalan number的母函数$c(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{2n \choose n}{\frac {x^{n}}{n+1}}.$
不知是否有用

Czhang271828

利用关系
\[
\binom{1/2}n=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-1}n}\binom{2n-2}{n-1}.
\]
看出母函数(二楼提到了).

母函数 $n$ 次导在 $0$ 处取值即为所求.

hbghlyj

在Random Walk: Gambler's Ruin - Infinite Fortune看到$$P_0(x)=\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{n}x^n=\frac1{\sqrt{1-4x}},\ |x|<\frac14$$感觉差不多的样子.