Catalan number$×4^{-n}$求和

hbghlyj

如何证明WolframAlpha给出的Partial sum formula
\[\sum_{n=0}^{k-1}\frac{\binom{2 n} n}{n+1}4^{-n}= 2-2^{-2 k+1}\binom{2 k}k\]

$2=\int_0^1(1-x)^{-1/2}dx$级数

战巡

\[\frac{C_{2n}^n}{n+1}\cdot 4^{-n}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!\cdot 2^n\cdot 2^{n+1}}\cdot 2\]
\[=2\cdot\frac{(2n)!}{(2n)!!(2n+2)!!}=\frac{2\cdot (2n-1)!!}{(2n+2)!!}\]
\[=2\cdot\left(\frac{(2n-1)!!\cdot[(2n+2)-(2n+1)]}{(2n+2)!!}\right)\]
\[=2\cdot\left(\frac{(2n-1)!!(2n+2)}{(2n+2)!!}-\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\right)\]
\[=2\cdot\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}-\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\right)\]

\[\sum_{n=0}^{k-1}\frac{C_{2n}^n}{n+1}\cdot 4^{-n}=\sum_{n=0}^{k-1}2\cdot\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}-\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\right)=2-2\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\]
\[=2-2\frac{(2k)!}{[(2k)!!]^2}=2-2\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}=....\]