一道解析几何，求几何解释！

福州小江 · 发表于 2013-9-8 22:49

福州小江 · 发表于 2013-9-8 22:50

第二问！！！！！！！！！！

kuing · 发表于 2013-9-8 23:28

先上下拉伸成圆，显然不改变三者长度，如图所示。

QQ截图20130908232652.png

依题意可知此时 $ABCD$ 为正方形，其边长为 $a$，则由相似比例易得
\begin{align*}
\frac{EF}{DC}&=\frac{PG}{PH}\iff EF=\frac{a\cdot PG}{PH}, \\
\frac{EA}{HD}&=\frac{AD}{PH}\iff EA=\frac{a\cdot GA}{PH}, \\
\frac{FB}{HC}&=\frac{BC}{PH}\iff FB=\frac{a\cdot GB}{PH},
\end{align*}
故
\[EF^2=EA\cdot FB\iff PG^2=GA\cdot GB,\]
显然成立，得证。

PS、少点感叹号。

睡神 · 发表于 2013-9-8 23:31

回复 1# 福州小江
波兄？

nash · 发表于 2013-9-8 23:32

犀利!!!!!!

Tesla35 · 发表于 2013-9-8 23:35

题目来源是？

福州小江 · 发表于 2013-9-8 23:38

一道江苏模拟卷上的题目

kuing · 发表于 2013-9-8 23:39

不拉伸显然也可以，最终等价为 $PA$ 与 $PB$ 斜率之积的结论。
拉伸只是为了方便用纯初中几何做。

福州小江 · 发表于 2013-9-8 23:57

回复 4# 睡神

你是？

kuing · 发表于 2015-12-5 02:03

刚才QQ空间看到一类似题：
QQ截图20151205020416.jpg

用类似上述证法应该可行，大家可以试下。

abababa · 发表于 2015-12-5 08:31

回复 10# kuing

以前在人教论坛初中版见过yes94出的一样的题，maven解答过，他是把$AB$从$P$点投影到$CD$上，就是$PA,PB$这两条射线分别交$CD$于$A',B'$
要证的也就是$A'C^2+B'D^2=A'B'^2$，就是要证$(A'D+AB)^2+(B'C+AB)^2=(A'D+B'C+AB)^2$
最后只要证$AB^2=2A'D\cdot B'C$
$A'D=BC\cot\angle PAB,B'C=BC\cot\angle PBA$，所以$2A'D\cdot B'C=2BC^2=AB^2$

kuing · 发表于 2015-12-5 13:28

回复 11# abababa

不错，这个挺简洁

其妙 · 发表于 2015-12-5 22:36

回复 11# abababa
abababa记得这么清楚？

abababa · 发表于 2015-12-5 22:54

回复 13# 其妙

对几何感兴趣，收藏了很多几何帖子来看，就是下面这题，不过看不到maven的解答了
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2366159&extra=page%3D20

其妙 · 发表于 2015-12-5 23:25

回复 14# abababa
他居然把解答的帖子删除了

kuing · 发表于 2015-12-5 23:28

回复 15# 其妙

是的，很早就发现他自删了很多回帖

敬畏数学 · 发表于 2015-12-7 14:52

此题纯粹解析法也很简单。基本的运算还是需要的吗。呵呵。。。

hbghlyj · 发表于 2023-3-31 02:32

本帖最后由 hbghlyj 于 2023-11-16 11:39 编辑

近代欧氏几何学 [美]约翰逊 2012年版第50页	Roger A. Johnson - Advanced Euclidean Geometry (2007) p.76

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