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isee
发表于 2023-9-25 12:43
本帖最后由 isee 于 2023-11-7 11:44 编辑 致各位论坛网友：
由于 hbghlyj 操作数据库失误导致由 2023-9-26 至 2023-11-5 间期的所有帖子的内文都被清空，在此给大家真诚道歉。
现在我们正在浏览这期间的帖子，努力回忆内容，尽可能地多恢复一些，如果您还记得本帖原本的内容，也希望您能编辑回来，麻烦各位了。
此内容后补，大概率是
源自知乎提问
题：已知 O 为锐角三角形 ABC 的外心，且 $\cos A=\frac 13$ ，若 $\overrightarrow {AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ ， $m,n\in\mathbb R$ ，则 $m+4n$ 的最大值为____.
图 1 中的点乘法是相对简明的，也许是临场最优解法.
图 1 原题
原题
图 1 点乘
图 1 参考解答
也可以考虑一般的情况，曾经建系处理过两参数系数为 1 的情形.
以外心 O 为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，不防将 A,B,C 按逆时针排列.
可设圆 O 的方程为 $x^2+y^2=1$ ，则 \[A(\cos \alpha,\sin \alpha),B(\cos \beta,\sin \beta),C(\cos \gamma,\sin \gamma),\gamma-\beta =2A,\]
则 \begin{align*}
\overrightarrow{AO}&=(-\cos \alpha,-\sin \alpha),\\
\overrightarrow{AB}&=(\cos \beta-\cos \alpha,\sin \beta-\sin \alpha),\\
\overrightarrow {AC}&=(\cos \gamma-\cos \alpha,\sin \gamma-\sin \alpha),\\[2em]
\overrightarrow{AO}&=m\overrightarrow {AB}+n \overrightarrow{AC},\\[1ex]
&\left\{\begin{aligned} m\cos \beta-m\cos \alpha+n\cos \gamma-n\cos \alpha&=-\cos \alpha\\
m\sin \beta-m\sin \alpha+n\sin \gamma-n\sin \alpha&=-\sin \alpha, \end{aligned}\right.\\[1ex]
&\left\{\begin{aligned} m\cos \beta+n\cos \gamma&=(m+n-1)\cos \alpha\\
m\sin \beta+n\sin \gamma&=(m+n-1)\sin \alpha, \end{aligned}\right.\\
\end{align*} 两式平方相加，化简即 \begin{align*}
m^2+n^2+2mn\cos( \beta - \gamma)&=(m+n-1)^2\\[1ex]
1-2m-2n&=-2mn(1-\cos 2A)\\[1ex]
2m+2n-1&=4mn\sin^2 A,\\[1ex]
\end{align*} 代入已知数据 $\cos A=\frac13\iff \sin^2A=\frac89$ 整理为 \[(9/16-m)(9/4-4n)=9/64,\] 再由锐角三角形的条件可知外心 O 在三角形ABC 内部，于是 $m,n>0$ $m+n<1$ ，进一步知 $9/16-m>0,\,9/4-4n>0$ （否则 m+n>9/8 与 m+n<1 矛盾）.
由均值不等式，得 \[(9/16-m)+(9/4-4n)\geqslant2\sqrt{(9/16-m)(9/4-4n)}=\frac34\Rightarrow m+4n\leqslant\frac{33}{16}.\] 此处未处理取等，（当且仅当 2AB=AC 时取得等号.） |
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