两道看起来吓人的不等式

yangyou719

kuing

第一个：
由恒等式
\begin{align*}
a+b+c&=2s, \\
ab+bc+ca&=s^2+4Rr+r^2, \\
abc&=4sRr,
\end{align*}
可知原不等式等价于
\[\frac{R-2r}{R+2r}\cdot 2s\cdot \frac{s^2+4Rr+r^2}{4sRr}+\frac{(2s)^2}{(2s)^2-2(s^2+4Rr+r^2)}\geqslant 3,\]
去分母整理等价于
\begin{align*}
&(s^2 - 16 R r + 5 r^2) \bigl((R - 2 r) (R - r) s^2 + (14 R^3 + 3 R^2 r + 5 R r^2 - 4 r^3)r\bigr) \\
&+ 2(4 R^2 + 4 R r + 3 r^2 - s^2) (29 R^2 - 23 R r + 3 r^2) r^2\geqslant 0,
\end{align*}
由欧拉不等式 $R\geqslant 2r$ 及 Gerretsen 不等式 $4R^2+4Rr+3r^2\geqslant s^2\geqslant 16Rr-5r^2$ 可知上式成立，故原不等式得证。

kuing

第二个是不是要核实一下题目啊楼主

yangyou719

别人的题目，先换成这道

kuing

回复 4# yangyou719

类似地sRr化可以做

PS、都是哪来的问题？有啥背景么？

kuing

回复 4# yangyou719

虽然还是比较暴力及无趣，还是写一下过程……

由正弦定理易得 $\cot^2A=4R^2/a^2-1$，于是
\begin{align*}
\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C&=4R^2\left( \frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2} \right)-3 \\
& =4R^2\frac{(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)}{a^2b^2c^2}-3 \\
& =4R^2\frac{(s^2+4Rr+r^2)^2-16s^2Rr}{(4sRr)^2}-3 \\
& =\frac{(s^2+4Rr+r^2)^2-16s^2Rr}{4(sr)^2}-3,
\end{align*}
另一边
\begin{align*}
\frac{\left( \frac{4R+r}s \right)^2\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}}{(a+b+c)\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right)}&=\left( \frac{4R+r}s \right)^2\frac{(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)} \\
& =\left( \frac{4R+r}s \right)^2\frac{(2s)^3-6s(s^2+4Rr+r^2)+12sRr}{2s(s^2+4Rr+r^2)} \\
& =\left( \frac{4R+r}s \right)^2\frac{s^2-6Rr-3r^2}{s^2+4Rr+r^2},
\end{align*}
所以原不等式等价于
\[\frac{(s^2+4Rr+r^2)^2-16s^2Rr}{4(sr)^2}-3\geqslant \left( \frac{4R+r}s \right)^2\frac{s^2-6Rr-3r^2}{s^2+4Rr+r^2},\]
去分母整理等价于
\begin{align*}
&(s^2 - 16 R r + 5 r^2) \bigl(s^2 (R - r) (s^2 + 12 R r - 14 r^2) + r^2 (112 R^3 + 92 R^2 r + 77 R r^2 - 23 r^3)\bigr)\\
& + 2 r^3 (4 R^2 + 4 R r + 3 r^2 - s^2) (280 R^2 - 168 R r + 17 r^2)\geqslant 0,
\end{align*}
由欧拉不等式 $R\geqslant 2r$ 及 Gerretsen 不等式 $4R^2+4Rr+3r^2\geqslant s^2\geqslant 16Rr-5r^2$ 可知上式成立，故原不等式得证。

其妙

任迪慧老师的几何不等式吧，
他可以达到平均每天创造一个这样的几何不等式，有时候一上来就甩出几个这样的不等式，从来没看见他解答过，尽管众人屡次央求他写一个解答。

kuing

回复 7# 其妙

噢？看来跟 xzlbq 有得一拼。

青青子衿

回复 8# kuing
刘保乾老师的几何不等式的确很有造诣！

其妙

我猜是软件，很好验证成立，他（任迪慧老师）一般就是$R$，$r$,  $a+b+c$, $p, S , a^2+b^2+c^2,  abc,  a^3+b^3+c^3$,等等的通过加、减、乘、除并配以适当系数的组合，然后就变成了一系列的不等式（可通过软件验证，据说maple、bottma等可验证成立），
提一个问题：谁能用排列组合知识， 计算出这样的方法可以创造多少个几何不等式呢？些

其妙

回复 10# 其妙
还忘了乘方，开方
福建何灯：刘保乾老师前两年就已经做了这个事情 ，再结合随机数程序进行验证   发现一大类的不等式

hjfmhh

回复 2# kuing


    去分母整理化简这里有技巧吗？求指教

kuing

都快忘记怎么拆的了，刚才重新拆了下，6#这个拆复杂了点，其实也可以拆成
\begin{align*}
&(s^2-16Rr+5r^2)^2(s^2+28Rr-19r^2)+8r^2(s^2-16Rr+5r^2)(70R^2-100Rr+19r^2)\\
&+8r^3(R-2r)(280R^2-168Rr+17r^2)\geqslant 0
\end{align*}