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kuing
Post time 2015-2-19 01:54
做得有点复杂，可能会有更简洁的方法。
由条件得 $(a-b)^2=(b-c)c$，令 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$, $x$, $y$, $z>0$，代入得 $(x-y)^2=(z-y)(x+y)$，于是
\[z=\frac{(x-y)^2}{x+y}+y,\]
故
\begin{align*}
a&=\frac{(x-y)^2}{x+y}+2y=\frac{x^2+3y^2}{x+y},\\
S^2&=xyz(x+y+z)\\
&=xy\left( \frac{(x-y)^2}{x+y}+y \right)\left( x+y+\frac{(x-y)^2}{x+y}+y \right)\\
&=\frac{xy(x^2+2y^2-xy)(2x^2+3y^2+xy)}{(x+y)^2},
\end{align*}
由均值得
\begin{align*}
\frac{S^2}{a^4}&=\frac{xy(x+y)^2(x^2+2y^2-xy)(2x^2+3y^2+xy)}{(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac{16xy\cdot 3(x+y)^2\cdot 6(x^2+2y^2-xy)\cdot 2(2x^2+3y^2+xy)}{2^63^2(x^2+3y^2)^4} \\
& \leqslant \frac{\bigl(16xy+3(x+y)^2+6(x^2+2y^2-xy)+2(2x^2+3y^2+xy)\bigr)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac{(13x^2+18xy+21y^2)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& \leqslant \frac{\bigl(13x^2+3(x^2+9y^2)+21y^2\bigr)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac{\bigl(16(x^2+3y^2)\bigr)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac49,
\end{align*}
所以
\[
S\leqslant \frac23a^2,
\]
当且仅当 $x=3y$ 时取等，所以 $a=\sqrt[4]{27/64}$。
注：上面均值的系数可以通过待定系数得出。 |
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其妙
Post time 2015-2-24 20:19
