一道三角题目

longzaifei

在$\triangle ABC $中，$(a-b)(\sin A-\sin B)=(\sin B-\sin C)c $,若 $S_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} $,求$a$

kuing

做得有点复杂，可能会有更简洁的方法。

由条件得 $(a-b)^2=(b-c)c$，令 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$, $x$, $y$, $z>0$，代入得 $(x-y)^2=(z-y)(x+y)$，于是
\[z=\frac{(x-y)^2}{x+y}+y,\]
故
\begin{align*}
a&=\frac{(x-y)^2}{x+y}+2y=\frac{x^2+3y^2}{x+y},\\
S^2&=xyz(x+y+z)\\
&=xy\left( \frac{(x-y)^2}{x+y}+y \right)\left( x+y+\frac{(x-y)^2}{x+y}+y \right)\\
&=\frac{xy(x^2+2y^2-xy)(2x^2+3y^2+xy)}{(x+y)^2},
\end{align*}
由均值得
\begin{align*}
\frac{S^2}{a^4}&=\frac{xy(x+y)^2(x^2+2y^2-xy)(2x^2+3y^2+xy)}{(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac{16xy\cdot 3(x+y)^2\cdot 6(x^2+2y^2-xy)\cdot 2(2x^2+3y^2+xy)}{2^63^2(x^2+3y^2)^4} \\
& \leqslant \frac{\bigl(16xy+3(x+y)^2+6(x^2+2y^2-xy)+2(2x^2+3y^2+xy)\bigr)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac{(13x^2+18xy+21y^2)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& \leqslant \frac{\bigl(13x^2+3(x^2+9y^2)+21y^2\bigr)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac{\bigl(16(x^2+3y^2)\bigr)^4}{2^{14}3^2(x^2+3y^2)^4} \\
& =\frac49,
\end{align*}
所以
\[
S\leqslant \frac23a^2,
\]
当且仅当 $x=3y$ 时取等，所以 $a=\sqrt[4]{27/64}$。

注：上面均值的系数可以通过待定系数得出。

longzaifei

很牛！！需要很长时间看看！谢谢kuing,顺祝新年快乐!

爪机专用

回复 4# 其妙
有不同吗？

其妙

回复  其妙
有不同吗？
爪机专用 发表于 2015-2-24 20:23

我是说，楼主的题是不是随便编的，答案那么古怪，现在找到了原版，证实不是随意编的，

爪机专用

回复 6# 其妙
也有可能是我做错了，晚点回家再用软件验证下。

kuing

\begin{aligned}
& a=y+z ; \\
& b=z+x ; \\
& c=x+y ; \\
& \text{Maximize}[\{\sqrt{x y z(x+y+z)}, \\
& \quad x>0 \& \& y>0 \& \& z>0 \& \&(a-b)^2=(b-c) c \\
& \left.\left.\quad \& \& a^4==\frac{27}{64}\right\},\{x, y, z\}\right]
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \left\{\frac{\sqrt{3}}{4},\right. \\
& \left\{x \rightarrow \operatorname{Root}\left[-27+64=1^4 \&, 2\right], y \rightarrow \operatorname{Root}\left[-1+192 \neq 1^4 \&, 2\right]\right. \\
& z \rightarrow\left(-\operatorname{Root}\left[-27+64=1^4 \&, 2\right]^2+\operatorname{Root}\left[-27+64=1^4 \&, 2\right]\right. \\
& \left.\quad \operatorname{Root}\left[-1+192=1^4 \&, 2\right]-2 \operatorname{Root}\left[-1+192=1^4 \&, 2\right]^2\right) / \\
& \left.\left.\quad\left(-\operatorname{Root}\left[-27+64=1^4 \&, 2\right]-\operatorname{Root}\left[-1+192=1^4 \&, 2\right]\right)\right\}\right\}
\end{aligned}
看来结果是对的，除非我把海伦公式记错……

其妙

回复 8# kuing
最烦那个符号“#1”，是是意思哟？

kuing

回复 9# 其妙

Root[-27+64#1^4&, 2] 大概是表示 $-27+64x^4=0$ 的第二个根，至于它内部是怎么排第几个的我就不清楚了，反正这里不必管它，只要看输出的第一个值，就是 S 的最大值，符合题意就是验证无误了。

其妙

巳知 $a, b, c$ 分别是 $\triangle A B C$ 的角 $A$、$B$、$C$ 的对边，且 $(a-b)(\sin A-\sin B)=(\sin B-\sin C) c$，若 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，则 $a=$2
今天又见这道题，但不是同一个人发的，但答案似乎都相同？

kuing

回复 11# 其妙

那个红色的 2 难道是参考答案吗？

其妙

回复 12# kuing
不知道，没法问

kuing

回复 13# 其妙

找题目出处，再找命题人问
我估计要么就是排版试卷的人打错了字母，要么这个2其实就是命题人自己搞出来的错误结果。

hjfmhh

上面均值的系数可以通过待定系数得出,怎么待定的，求请教

kuing

回复 15# hjfmhh

假设 x=ky 时取等，然后均值时就需要配一些系数（全是关于 k 的式子），两次均值后需要系数比为 1:3，得到关于 k 的一个方程，这个方程其实是个高次方程，但是通过连猜带蒙可以发现 k=3 是一个根，然后就

hjfmhh

求过程kuing,谢谢

isee

回复 14# kuing
把楼主的题，第二个 减号 改 加号 简单多了：
解：由正弦定理，得

\[
\begin{aligned}
& (a-b)(\sin A+\sin B)=(\sin A-\sin C) c \text { 即为 } \\
& (a-b)(a+b)=c(a-c),
\end{aligned}
\]


即 $a^2+c^2-b^2=a c$ ，
由余弦定理，可得，

\[
\cos \mathrm{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}=\frac{1}{2},
\]


即有 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
由于 $a^2+c^2 \geqslant 2 a c$ ，当且仅当 $a=c$ 取得等号．
则 $\mathrm{ac} \leqslant \mathrm{b}^2$ ，
由于 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，
则有 $\frac{1}{2} a c \sin B \leqslant \frac{1}{2} b^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} b^2$ ，
即有 $\mathrm{b}=1$ ，则 $\mathrm{a}=1$ ．
故答案为： 1 ．

kuing

回复 18# isee

那就太无趣鸟……

kuing

又在某群看到这题，难道这题已经成了FAQ？

isee

回复 20# kuing


    应该是太难了