来自某教师群的买野集卡概率

kuing

广州王勇成(5234*****) 16:16:28
为了庆祝建厂10周年,某食品厂制作了3种分别印有卡通人物猪猪侠、虹猫和无眼神兔的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,张明购买了5袋该食品,则他可能获奖的概率是     

题目多余文字太多，简单来说，就是每包里都有一张卡，卡有 ABC 三种，买五包，问集齐的概率。

解：事件总数为 $3^5$，其中没有卡 A 的为 $2^5$，对 B, C 同理，而全部都为同一种卡只有 $3$ 种可能，故由容斥原理，能集齐三种卡的方法数为 $3^5-3\times2^5+3=150$，故所求概率为 $150/3^5=50/81$。

推广之：每包有一张卡，设有 $m$ 种卡，买 $n$ 包，设集齐所有卡种的概率为 $P$，则
\begin{align*}
P&=\frac{m^n-m(m-1)^n+C_m^2(m-2)^n-C_m^3(m-3)^n+\cdots +(-1)^{m-1}C_m^{m-1}1^n}{m^n}\\
&=\sum_{r=0}^{m-1}(-1)^rC_m^r\left(1-\frac rm\right)^n.
\end{align*}

hbghlyj

赠券收集问题假設有n種贈券，每種贈券獲取機率相同，而且贈券亦無限供應。若取贈券t張，能集齊n種贈券的機率多少？計算得出，平均需要$ \Theta (n\ln(n)) $次才能集齊n種贈券

测试题第 15 題參考答案 $50/81$ 驗證了 1# 正解💯

百度知道:“每一包的卡片有三种可能⇒五包的总可能数N=3×3×3×3×3=243，5包就获奖的可能数n=3*2*1*3*3=54$⇒P=n/N=54/243=2/9$”
是錯誤的，$\frac29<\frac{50}{81}$，只計算剛第3包就集齊的情況，未計入直到第4、5包才集齊的情況。

kuing

lemondian 点评
推广公式有没有证明过程呀？

不是说了是容斥原理吗，原题的解答你没看懂吗？道理是一样的