用行列式证明柯西不等式

青青子衿

_____kuing edit in $\LaTeX$_____
请利用行列式的有关性质证明：$\begin{vmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
c & -d \\
d & c
\end{vmatrix}\geqslant\begin{vmatrix}
a & -b \\
d & c
\end{vmatrix}^2$

其妙

利用|AB|=|A||B|，实际就是把拉格朗日恒等式证明一遍而已，
柯西不等式的一种证明方法就是拉格朗日恒等式证明的，矩阵公式太麻烦，就不写了

其妙

利用|A||B|=|AB|，实际就是把拉格朗日恒等式证明一遍而已，
柯西不等式的一种证明方法就是拉格朗日恒等式证 ...
其妙 发表于 2013-10-13 16:12

利用|AB|=|A||B|，实际就是把拉格朗日恒等式证明一遍而已，
$\begin{vmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}
c & -d \\
d & c
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
ac-bd & -ad-bc \\
bc+ad & -bd+ac
\end{vmatrix}=(ac-bd)^2+(bc+ad )^2\geqslant(ac-bd)^2=\begin{vmatrix}
a & b \\
d & c
\end{vmatrix}^2$

其妙

回复 5# 其妙
没事，现在两个行列式都乘以$-1$就得了！
$\begin{vmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}
c & -d \\
d & c
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a & b \\
b & -a
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}
c & d \\
d & -c
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
ac+bd & ad-bc \\
bc-ad & bd+ac
\end{vmatrix}=(ac+bd)^2+(bc-ad )^2\geqslant(ac+bd)^2=\begin{vmatrix}
a & -b \\
d & c
\end{vmatrix}^2$

其妙

回复 1# 青青子衿
上面是二元柯西（二阶行列式）,能否搞个三阶的行列式来证明三元柯西不等式呢？

Czhang271828

令 $P=\left(\begin{array}{cccc}a_1&a_2&\cdots& a_n\\b_1&b_2&\cdots& b_n\\\end{array}\right)$ ， $Q=\left(\begin{array}{cccc}c_1&c_2&\cdots& c_n\\d_1&d_2&\cdots& d_n\\\end{array}\right)$ 。

由 Cauchy-Binet formulae 知
\[
\det (PQ^T)=\sum_{1\leq i_1<i_2\leq n}\det\left(P\left[\begin{array}{cc}1&2\\i_1&i_2\\\end{array}\right]\right)\det\left(Q^T\left[\begin{array}{cc}i_1&i_2\\1&2\\\end{array}\right]\right)=\sum_{1\leq i_1<i_2\leq n}(a_{i_1}b_{i_2}-a_{i_2}b_{i_1})(c_{i_1}d_{i_2}-d_{i_2}c_{i_1})
\]
其中 $P\left[\begin{array}{cc}1&2\\i_1&i_2\\\end{array}\right]$ 为 $P$ 的子式，系取其 $1$ 、 $2$ 行及 $i_1$ 、 $i_2$ 列交会处所得。

而直接计算行列式得：
\[
\det(P^TQ)=\sum_{i=1}^n(a_ic_i)\sum_{i=1}^n(b_id_i)-\sum_{i=1}^n(a_id_i)\sum_{i=1}^n(b_ic_i)
\]
故
\[
\sum_{i=1}^n(a_ic_i)\sum_{i=1}^n(b_id_i)=\sum_{i=1}^n(a_id_i)\sum_{i=1}^n(b_ic_i)+\sum_{1\leq i_1<i_2\leq n}(a_{i_1}b_{i_2}-a_{i_2}b_{i_1})(c_{i_1}d_{i_2}-c_{i_2}d_{i_1})
\]
若令 $a_i\equiv c_i$ 及 $b_i\equiv d_i$ ，即得 Lagrange's identity：
\[
\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2=(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2+\sum_{1\leq i_1<i_2\leq n}(a_{i_1}b_{i_2}-a_{i_2}b_{i_1})^2
\]
易知柯西不等式 $\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2\geq(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$ 成立若且仅若 $(a_{i_1}b_{i_2}-a_{i_2}b_{i_1})\equiv0$ 。

青青子衿

回复 9# Czhang271828
谢谢分享

由 Cauchy-Binet formulae 知
Czhang271828 发表于 2021-1-12 01:06

另外，这个“Cauchy-Binet formulae”的“formulae”是法语吧？

Czhang271828

回复 10# 青青子衿


可能受拉丁文影响，但其实是英语。一般复数用formulas/formulae。

青青子衿

向量叉乘关系式
\begin{align*}
M_1&=\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2\left\Vert\,\!OB\right\Vert^2-\left(OA\cdot\,\!OB\right)^2\\
&=\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2+z_1^2&
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2\\
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 \\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2\\
&=\left\Vert\,\!OA\times\,\!OB\right\Vert^2
\end{align*}
外积恒等式
\begin{align*}
\color{black}{
\begin{split}
M_1&=\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2\left\Vert\,\!OB\right\Vert^2-\left(OA\cdot\,\!OB\right)^2\\
&=\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2+z_1^2+w_1^2&
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+w_1w_2\\
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+w_1w_2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2+w_2^2 \\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & w_1 \\
x_2 & w_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & w_1 \\
y_2 & w_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
z_1 & w_1 \\
z_2 & w_2 \\
\end{vmatrix}^2\\
&=\left\Vert\,\!OA\times\,\!OB\right\Vert^2
\end{split}}
\end{align*}
内积恒等式
\begin{align*}
M_2&=\begin{vmatrix}
\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2+1&
OA\cdot\,\!OB+1\\
OA\cdot\,\!OB+1& \left\Vert\,\!OB\right\Vert^2+1\\
\end{vmatrix}\\
&=\left(\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2+1\right)\left(\left\Vert\,\!OB\right\Vert^2+1\right)-(OA\cdot\,\!OB+1)^2\\
&=\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2+z_1^2+1&
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+1\\
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+1& x_2^2+y_2^2+z_2^2+1\\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
x_1 & 1 \\
x_2 & 1 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & 1 \\
y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
z_1 & 1 \\
z_2 & 1 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2\\
&=\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2+\left\Vert\,\!OB\right\Vert^2-2OA\cdot\,\!OB+\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2\left\Vert\,\!OB\right\Vert^2-(OA\cdot\,\!OB)^2\\
&=\left\Vert\,\!AB\right\Vert^2+\left\Vert\,\!OA\times\,\!OB\right\Vert^2
\end{align*}
空间三角形面积体积内积关系式
\begin{align*}
M_3&=\operatorname{Gram}\left[\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
1
\end{pmatrix}^{\mathrm{T}},\begin{pmatrix}
\alpha_2\\
1
\end{pmatrix}^{\mathrm{T}},\begin{pmatrix}
\alpha_3\\
1
\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}\right]\\
&=\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2+z_1^2+1 &
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+1 &
x_1 x_3+y_1 y_3+z_1 z_3+1 \\
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+1 & x_2^2+y_2^2+z_2^2+1 & x_2 x_3+y_2 y_3+z_2 z_3+1 \\
x_1 x_3+y_1 y_3+z_1 z_3+1 &
x_2 x_3+y_2 y_3+z_2 z_3+1 & x_3^2+y_3^2+z_3^2+1 \\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & 1 & z_1 \\
x_2 & 1 & z_2 \\
x_3 & 1 & z_3 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3 \\
\end{vmatrix}^2
+
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2& y_2 & z_2 \\
x_3& y_3 & z_3 \\
\end{vmatrix}^2
\end{align*}
还可以得到更广义的行列式恒等式
\begin{align*}

M&=\operatorname{Gram}\left(\boldsymbol{X}_{1},\boldsymbol{X}_{2},\cdots,\boldsymbol{X}_{n}\right)\\
&=\operatorname{Gram}\left[\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{12}\\
\vdots\\
x_{1m}\\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
x_{21}\\
x_{22}\\
\vdots\\
x_{2m}\\
\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}
x_{n1}\\
x_{n2}\\
\vdots\\
x_{nm}\\
\end{pmatrix}\right]\\
&=\begin{vmatrix}
\boldsymbol{X}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{1}&
\boldsymbol{X}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{2}&
\cdots&\boldsymbol{X}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{n}\\
\boldsymbol{X}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{1}&\boldsymbol{X}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{2}&\cdots&\boldsymbol{X}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\boldsymbol{X}_{n}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{1}&\boldsymbol{X}_{n}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{2}&\cdots&\boldsymbol{X}_{n}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}_{n}
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{1i}^2&\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{1i}x_{2i}&\cdots&\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{1i}x_{ni} \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{2i}x_{1i}&\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{2i}^2&\cdots&\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{2i}x_{ni} \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{ni}x_{1i}&\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{ni}x_{2i}&\cdots&\displaystyle\sum_{i=1}^{m}x_{ni}^2 \\
\end{vmatrix}\\
&=\sum_{(j_1,j_2,\cdots,j_{n})}\begin{vmatrix}
x_{1j_{1}} &  x_{1j_{2}} & \cdots&  x_{2j_{n}}\\
x_{2j_{1}} &  x_{2j_{2}} & \cdots & x_{2j_{n}} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
x_{ nj_{n}} & x_{ nj_{n}} & \cdots &x_{ nj_{n}} \\
\end{vmatrix}^2

\end{align*}

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2021-1-12 05:22
回复 10# 青青子衿
可能受拉丁文影响，但其实是英语。一般复数用formulas/formulae。

en.wiktionary.org/wiki/-ae
Etymology
Representing the nominative plural case endings belonging to Latin first-declension feminine nouns.

Category:English irregular plurals ending in "-ae"

hbghlyj

建议和柯西-比内公式的证明这帖加相同的标签
____________
附
Cauchy的音译有“柯西”和“哥西”和“歌西”,
“哥西”,见《奥赛经典》、分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器、哥西不等式的推广及应用、数学分析讲义、考题述评
“歌西”,见 歌西-舒瓦茲不等式的證明與推廣.pdf (311.37 KB, 下载次数: 3)

2022-9-14 09:25 上传

点击文件名下载附件

Binet的音译有“比内”和“比奈”(见行列式计算～利用比奈柯西公式)

青青子衿

青青子衿 发表于 2022-6-25 18:21
\begin{align*}
\color{black}{
\begin{split}
M_1&=\left\Vert\,\!OA\right\Vert^2\left\Vert\,\!OB\right\Vert^2-\left(OA\cdot\,\!OB\right)^2\\
&=\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2+z_1^2+w_1^2&
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+w_1w_2\\
x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2+w_1w_2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2+w_2^2 \\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1 & w_1 \\
x_2 & w_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
y_1 & w_1 \\
y_2 & w_2 \\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
z_1 & w_1 \\
z_2 & w_2 \\
\end{vmatrix}^2\\
&=\left\Vert\,\!OA\times\,\!OB\right\Vert^2
\end{split}}
\end{align*}

On generalizations of discrete and integral Cauchy-Bunyakovskii inequalities by the method of mean values. Some applications
S.M. Sitnik
arxiv.org/abs/2203.14344
\begin{align*}
S&=\left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\right)^{2}\\
&\qquad-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}-y_{4}^{2}\right)\\
&=\begin{vmatrix}
x_1&y_1\\
x_3&y_3\\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_1&y_1\\
x_4&y_4\\
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}
x_2&y_2\\
x_3&y_3\\
\end{vmatrix}^2\\
&\qquad+
\begin{vmatrix}
x_2&y_2\\
x_4&y_4\\
\end{vmatrix}^2-
\begin{vmatrix}
x_1&y_1\\
x_2&y_2\\
\end{vmatrix}^2-
\begin{vmatrix}
x_3&y_3\\
x_4&y_4\\
\end{vmatrix}^2
\end{align*}