|
|
话说十日前减压群内：
生如夏花(2365*****) 22:21:27
看到一个有趣的问题 :这是一辆自行车，前后轮在地面留下的轨迹，那么该自行车是从左往右运动还是从右往左运动的？
解法在下面，不过我建议你先试试判断一下，再往下拉。
小色k 22:34:32
先由大概判断较弯的是前轮，后轮线的切线与前轮线的交点等于两轮心的距离，所以作几条切线看与哪边方向的交点长度为定值，就是哪个方向
小色k 22:31:11
这样看应该是从右往左吧
原题解决了，当然了，如果这样就完了我也懒得发帖，现在发自然是有后续。
按照此方法，如果知道后轮线方程以及轮心距，则不难求出前轮线方程，下面来试试。
假设后轮线由参数方程 $\led x&=x(t),\\ y&=y(t),\endled$（`t` 为参数）给出，设其上一点 `P\bigl(x(t),y(t)\bigr)`，则 `P` 处切线的方向向量为 `\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)`，于是切线的参数方程为
\[\led
x&=x(t)+\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}u,\\
y&=y(t)+\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}u,
\endled\text{（$u$ 为参数）}\]
这是标准式的直线参数方程，`u` 的几何意义就是线段长，所以，若记轮心距为 `a`，那么当 `u=a` 或 `-a` 时的点就在前轮线上，也就是说，前轮线的参数方程就是
\[\led
x&=x(t)+\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,\\
y&=y(t)+\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,
\endled~\text{或}~\led
x&=x(t)-\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,\\
y&=y(t)-\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,
\endled\text{（$t$ 为参数）}\]
两种结果分别对应两种不同的行车方向。
举两个栗子：
（1）已知后轮线为 `y=\sin x`，轮心距为 `1`，且车由左往右行驶，则前轮线为
\[\led
x&=t+\frac1{\sqrt{1+\cos^2t}},\\
y&=\sin t+\frac{\cos t}{\sqrt{1+\cos^2t}}.
\endled\text{（$t$ 为参数）}\]
（2）已知后轮线为椭圆 `x^2/a^2+y^2/b^2=1`（`a`, `b>0`），轮心距为 `1`，且车逆时针行驶，则前轮线为
\[\led
x&=a\cos t+\frac{-a\sin t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}},\\
y&=b\sin t+\frac{b\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}.
\endled\text{（$t$ 为参数）}\]
来用几何画板演示一下这两个栗子，下面两图中，蓝色线为前轮线，由参数方程 `x=g(t)`, `y=h(t)` 给出。
（1）
（2）
然而，若反过来，给出前轮线，求后轮线，恐怕求不出来，因为反解一般都解不出，举个很简单的情况，假设前轮线是 `y=x^2` 且轮心距 `a=1`，那么求后轮线就是求一个 `x(t)`, `y(t)` 使得
\[y(t)+\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=\left(x(t)+\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}\right)^2,\]
假设后轮线可以写成显式函数 `y=y(x)`，那么上式就可以写成
\[y+\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\left(x+\frac1{\sqrt{1+y'^2}}\right)^2,\]
这个微分方程恐怕难以解出……
连 `y=x^2` 都解不了，可见一般情况就不用想了，大概也就一些最简单的情况或许可以求求，比如直线，圆之类的。
下面来试求一个最最简单的情形：初始时，前轮在原点，后轮在 `(0,1)`，现在让前轮沿 `x` 轴正方向移动，求后轮线。
按照上述结果，只需解如下微分方程
\[y+\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=0,\]
根据实际情况反解出 `y'` 后可以整理为
\[
\rmd x=-\frac{\sqrt{1-y^2}}y\rmd y,
\]
积分得
\[x=\ln\frac{1+\sqrt{1-y^2}}y-\sqrt{1-y^2}+C,\]
由初始值可知 `C=0`。
几何画板演示：
|
|
realnumber
发表于 2019-2-21 17:39
青青子衿
发表于 2019-2-21 17:50
hbghlyj
发表于 2021-12-20 03:34
嘛，这类问题被研究过也是意料之中……
