一條分式方程求解組或許要用到不等式？

tommywong

MihaiT：

If you have time for this system

Find x,y,z>0 s.t.

$\displaystyle\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}=x^2+y^2+z^2=3$

Thanks very much.

kuing

你的赶脚是对嘀，就是玩不等式……

下面证明
\[\sum\frac{x^2+y^2}{x+y}\geqslant\sqrt{3\sum x^2}.\quad(*)\]（总感觉以前见过但翻半天没翻到……）
由 CS 有
\begin{align*}
\LHS&=\sum\frac{\bigl( \sqrt{x^2+y^2} \bigr)^2}{x+y}\\
&\geqslant\frac{\left( \sum\sqrt{x^2+y^2} \right)^2}{2\sum x}\\
&=\frac{\sum x^2+\sum\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+z^2}}{\sum x}\\
&\geqslant\frac{\sum x^2+\sum(x^2+yz)}{\sum x}\\
&=\frac{2\sum x^2+\sum yz}{\sum x},
\end{align*}所以只需证明
\[\left( 2\sum x^2+\sum yz \right)^2\geqslant3\sum x^2\left( \sum x \right)^2,\]正好等价于
\[\left( \sum x^2-\sum yz \right)^2\geqslant0,\]所以式 (*) 成立，取等当且仅当 `x=y=z`。

回到原题就是式 (*) 两边都是 `3`，所以只能 `x=y=z=1`。

血狼王

回复 2# kuing

(*)号式子是我之前在奥数夏令营做过的题目之一
我是从另一个角度用的CS，可惜忘记了怎么写了……