[考古]Introduction to the Geometry of the Triangle

hbghlyj · 发表于 2022-2-6 21:03

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-8-27 10:51 编辑 Introduction to the Geometry of the Triangle, Paul Yiu, Summer 2001
Department of Mathematics, Florida Atlantic University
Version 12.1224, December 2012

Geometry 2013 Fall
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三角形几何学导引 [美] 保罗▪姚著赵勇译 (Libgen)
Creation date: 5/26/2013, 4:30:13 PM
PDF producer: Microsoft® Office Word 2007

内容简介

本书主要讲解重心坐标方法在三角形几何学研究中的运用，包含了最基本的方法和结论.
作者以重心坐标为工具，证明或介绍了三角形几何学中的许多精致优美的结论.这其中既包含一些古典的结果，也有很多近些年才得到的新结果.
本书是学习重心坐标和进行三角形几何学研究的很好的入门书，也是一份内容丰富的参考资料.
本书适合大、中学师生，欧氏几何学爱好者的学习与收藏.

译者赘言

本书译自美国佛罗里达州大西洋大学(Florida Atlantic University)数学系的保罗•姚(Paul Yiu)先生的讲义：Introduction to the Geometry of the Triangle. 这份讲义写成于 2001 年，并在 2012 年做了修订.作者 Paul Yiu 先生是著名的欧氏几何学电子期刊 Forum Geometricorum 的主编，在欧氏几何学方面有精深的造诣，擅长于运用重心坐标来进行研究.
这本讲义写成的时间虽然不长，但在国外已有非常广泛的影响，在研究论文中被引用的频率非常高.我想这主要得益于该讲义的如下几个特点：
首先，作者的语言非常精炼，点到即止，绝不拖泥带水.这使得这本讲义在不长的篇幅中汇聚了丰富的内容.其中选用的证明往往都是非常巧妙简洁的，如§1.2.4 节关于海伦公式的推导.这要求读者在读本书时，在很多地方要更多地进行思考.
其次，内容丰富，既有传统的主要结果，也有很多新结论.古典的结果，如拿破仑定理，费尔巴哈定理，西摩松线等等；新结果如§8.4 节介绍的介拉倍克点以及费马点的布洛卡型点等等.这些结果新颖有趣，引人入胜.其中的一些新概念是进行进一步研究的基础.如§8.3节的塞瓦商，在三次曲线的研究中有很多应用.作者还从数学期刊，网上论坛中选取了很多结论作为练习.这使得本讲义成为一本难得的参考资料.
再次，这本讲义包含了重心坐标的主要方法和结论.传统的欧氏几何学研究，一般采用综合的方法.而近现代欧氏几何学的研究对象，往往是更加复杂，更加精细的构形.解决这类问题时，单使用综合法往往是很难奏效的.而重心坐标就是研究这类问题的一个有力工具.保罗•姚先生的这本讲义，由浅入深地介绍了重心坐标中最重要和最基本的方法和结论.其中的一些记号法则，已成为现代论文中的标准记号.如§3.4 节介绍的康韦的记号.
一直以来，我国都没有一本系统论述重心坐标的书.这是我翻译这本讲义的主要原因.由于这只是一本讲义，而不是正式出版的书籍，校订方面相对来说并不是那么严格.所以在最初的翻译过程中，发现了不少的错误.我将这些问题通过电子邮件请教了原作者，保罗•姚先生又结合其他读者所提的一些意见，在 2012 年底对讲义进行了修订.改正了一些错误并重新画了所有的插图.但修订后的讲义，一些插图中的记号与上下文并不相符，所以在翻译中，我结合原来的讲义，对其中的一些插图做了一些小小的修改.另外，修订后的讲义中还是存在一些明显的录入错误.对这些我都直接进行了修正，而不再一一予以指出.修订后讲义的目录，原作者加入了第三级的小标题，这样显得过于琐碎.所以在目录的翻译中，我采用的是修订前的版本，即省略了第三级的小标题的翻译.在书中少量难以理解的地方，还加入了一些译者注.
译者建议读者在阅读本书之前，最好能对三角形几何学的基本内容有个大概的了解.对此不熟悉的读者，可以先看看约翰逊的《近代欧氏几何学》一书(单墫译，哈尔滨工业大学出版社 2012 年出版).这样可以看出对于同一个问题，传统的综合法与本书的重心坐标法各是如何处理的.这样能加深对问题的理解.另外，阅读本书还需要一些简单的射影几何和线性代数方面的知识.
译者只是位普通的小学数学教师，水平和能力都很有限，译文中难免有错漏之处，恳请读者朋友们不吝批评指正.

赵勇

2013 年元月于六安东桥

目录

第1章外接圆与内切圆
1.1 预备知识
1.2 三角形的外接圆与内切圆
1.3 欧拉公式与斯坦纳系
1.4 附录：伪内切圆

第2章欧拉线与九点圆
2.1 欧拉线
2.2 九点圆
2.3 西摩松线与反射
2.4 附录：位似

第3章齐次重心坐标
3.1 关于三角形的重心坐标
3.2 塞瓦线与迹
3.3 等截共轭点
3.4 康韦公式
3.5 基尔勃特透视中心

第4章直线
4.1 直线的方程
4.2 无穷远点与平行线
4.3 两条直线的交点
4.4 垂足三角形
4.5 互相垂直的直线
4.6 附录

第5章圆Ⅰ
5.1 等角共轭点
5.2 外接圆是无穷远直线的等角共轭像
5.3 西摩松线
5.4 九点圆的方程
5.5 一般圆的方程
5.6 附录：密克理论

第6章圆Ⅱ
6.1 内切圆的方程
6.2 内切圆与九点圆的交点
6.3 旁切圆
6.4 布洛卡点
6.5 附录：三圆组（ A(a) ， B (b) ， C (c) ）

第7章圆Ⅲ
7.1 距离公式
7.2 圆的方程
7.3 三圆组的根圆
7.4 卢卡斯圆
7.5 附录：另外的三圆组

第8章一些基本的作图
8.1 重心积
8.2 调和伴随点
8.3 塞瓦商
8.4 布洛卡型点

第9章外接二次曲线
9.1 外接二次曲线是直线的等角变换像
9.2 外接双曲线的无穷远点
9.3 外接二次曲线的透视中心与中心
9.4 附录：点 A 处切线的直尺作图

第10章一般二次曲线
10.1 二次曲线的方程
10.2 内切二次曲线
10.3 伴随矩阵
10.4 含参数二次函数表示的二次曲线
10.5 二次曲线的矩阵
10.6 对偶二次曲线
10.7 二次曲线的类型、中心与透视中心

第11章一些特殊的二次曲线
11.1 给定焦点的内切二次曲线
11.2 内切抛物线
11.3 一些特殊的二次曲线
11.4 包络

第12章另外的一些二次曲线
12.1 与平行截点有关的二次曲线
12.2 同时等分周长与面积的直线
12.3 以三角形顶点为焦点，对边线为准线的抛物线
12.4 索迪双曲线
12.5 附录：与二次曲线有关的作图

人名索引

hbghlyj · 发表于 2022-2-6 21:21

本帖最后由 hbghlyj 于 2023-1-5 12:36 编辑 第 1 章外接圆与内切圆
1.1 预备知识
1.1.1 直线上点的坐标化
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  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: rgb(0, 0, 0);" x1="0" y1="299.515" x2="544.248" y2="296.987"></line>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 26.5px; font-style: italic;" x="96.582" y="333.53">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 26.5px; font-style: italic;" x="290.45" y="333.437">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 26.5px; font-style: italic;" x="98.609" y="328.8" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 306.318156, 1.979662)">C</text>
  <circle cx="297.856" cy="298.032" rx="4.217" r="4.217"></circle>
  <circle cx="408.404" cy="297.27" rx="4.217" r="4.217"></circle>
  <circle cx="110.183" cy="298.581" rx="4.217" r="4.217"></circle>
  <circle cx="297.856" cy="298.032" rx="4.217" r="4.217" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -51.645798, -244.045918)"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 26.5px; font-style: italic;" x="240.127" y="40.161">P</text>
</svg>
设 $B,C$ 是直线 $L$ 上的两个定点，直线 $L$ 上的每一个点 $X$ 都可以用下述几种方法之一
来进行坐标化：
⑴ 分比： $t ={BX\over XC}$
⑵ 绝对重心坐标： $X$ 的表达式是点 $B$ 与点 $C$ 的一个凸组合：$$X = (1 - t ) B +tC$$表示对于直线 $\mathcal L$ 外的任意一点 $P$ ，向量 $\bf PX$ 是向量 $\bf PB$ 与 $\bf PC$ 的一个线性组合：$$\mathbf{P X}=(1-t) \mathbf{P B}+t \mathbf{P C}$$⑶ 齐次重心坐标：比 $XC : BX$ ,表示在点 $B,C$ 处放上成这一比例的质量，则点 $X$ 就是这个(两质点)运算系统的平衡点.

1.1.2 两个圆的位似中心

考虑两个圆 $O (R )$ 和 $I (r )$，圆心距 $OI = d$ .令点 $X$ 在圆 $O (R )$ 上运动，并自点 $I$ 作射线 $OX$ 的反向平行射线，交圆 $I (r )$ 于点 $Y$. 你会发现直线 $XY$ 与直线 $OI$ 始终交于同一个点 $P$. 我们称这个定点为这两个圆的内位似中心.它分线段 $OI$ 成比例 $OP : PI = R : r$.点 $P$ 关于线段 $OI$ 的绝对重心坐标是$$P=\frac{R \cdot I+r \cdot O}{R+r}$$<svg style="height:200px" viewBox="0 0 931.1 276.053" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <line style="stroke-width:3px; stroke: red;" x1="231.25" y1="133.922" x2="101.349" y2="213.111" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 324.364626, -33.157895)"></line>
  <line style="stroke-width:3px; stroke: red;" x1="221.888" y1="139.773" x2="109.931" y2="208.43"></line>
  <line style="stroke-width:3px; stroke:#000;" x1="389.756" y1="108.466" x2="-54.698" y2="215.447" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 165.508138, -8.662555)"></line>
  <line style="stroke:blue;stroke-width:3px" x1="110.729" y1="207.561" x2="884.064" y2="140.367"></line>
  <line style="stroke:red;stroke-width:3px" x1="424.419" y1="180.496" x2="555.52" y2="100.177"></line>
  <circle style="fill: none; stroke: rgb(0, 0, 0);stroke-width:3px" cx="221.239" cy="140.012" rx="118.64" r="130"></circle>
  <circle cx="110.501" cy="208.284" r="5.762"></circle>
  <circle cx="110.501" cy="208.284" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 110.343147, -68.472561)" r="5.762"></circle>
  <circle cx="110.501" cy="208.284" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 278.634235, -68.240966)" r="5.762"></circle>
  <circle cx="110.501" cy="208.284" rx="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 379.76319, -68.009377)" r="5.762"></circle>
  <circle cx="110.501" cy="208.284" ry="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 314.917101, -27.248972)" r="5.762"></circle>
  <circle cx="110.501" cy="208.284" ry="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 444.261755, -108.22943)" r="5.762"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="562.868" y="91.486">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="562.868" y="91.486" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -161.507251, 121.402082)">Y'</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="497.58" y="165.376">I</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="497.58" y="165.376" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -110.479963, -39.143921)">P</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="211.959" y="126.088">O</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="79.094" y="228.56">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 25px; font-style: italic;" x="79.094" y="228.56" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 804.617928, -100.226677)">Q</text>
  <circle style="fill: none; stroke: rgb(0, 0, 0);stroke-width:3px" cx="490.515" cy="140.339" rx="118.64" r="77"></circle>
  <line style="stroke-width:3px;stroke:#000" x1="11.282" y1="138.92" x2="925.803" y2="140.363"></line>
  <circle cx="883.925" cy="140.925" rx="5.762" r="5.762"></circle>
</svg>
另一方面，如果我们自点 $I$ 作射线同向平行于射线 $OX$ 交圆 $I (r)$ 于点 $Y '$, 则直线 $XY'$ 与 $OI$ 始终交于另一个点 $Q$. 此点是这两个圆的外位似中心.它分线段 $OI$ 成比例 $OQ : QI=R : -r$ ，并具有绝对重心坐标$$Q=\frac{R \cdot I-r \cdot O}{R-r}$$1.1.3 调和分割

如果$\frac{B X}{X C}=-\frac{B Y}{Y C}$, 则两点 $X,Y$ 称为调和分割另外两点 $B,C$. 它们关于线段 $BC$ 互为调和共轭点.
(译者注：这里应要求 $X,Y,B,C$ 是共线的四点.)

练习
⒈ 若点 $X,Y$ 调和分割点 $B,C$，则点 $B,C$ 也调和分割点 $X,Y$.
⒉ 已知直线 $BC$ 上的一点 $X$，作出它关于线段 $BC$ 的调和共轭点. 区分点 $X$ 内分与外分 $BC$ 这两种情形.
(脚注:利用两圆位似中心的概念.)
⒊ 已知 $B,C$ 是两个定点，则使得 $|BP| : |CP| = k$(常数)的 $P$ 点的轨迹是一个圆.

1.1.4 梅涅劳斯定理与塞瓦定理

考虑三角形 $ABC$ 和分别在边线 $BC,CA,AB$ 上的点 $X,Y,Z$.
边线(sideline): 三角形的边所在的直线

梅涅劳斯定理
点 $X ,Y,Z$ 共线当且仅当$\frac{B X}{X C} \cdot \frac{C Y}{Y A} \cdot \frac{A Z}{Z B}=-1$
<svg viewBox="0 0 1620.533 480.255" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:bx="https://boxy-svg.com" style="height:200px">
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="805.45" y1="204.03" x2="23.308" y2="479.955"></line>
  <polygon style="fill:none;stroke-width:3px;stroke:#000" points="500.858 72.843 431.96 427.619 869.055 428.961"></polygon>
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="878.676" y1="-40.058" x2="1098.354" y2="314.4" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 343.314638, 112.49285)"></line>
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="1042.109" y1="31.046" x2="1435.832" y2="254.97" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 153.3513, 172.630657)"></line>
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="554.995" y1="259.215" x2="282.253" y2="419.464" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 868.633643, 5.306656)"></line>
  <line style="fill:none;stroke-width:3px;stroke:#000" x1="12.696" y1="428.131" x2="972.066" y2="428.131"></line>
  <polygon style="fill:none;stroke-width:3px;stroke:#000" points="1220.177 69.629 1151.279 424.405 1588.374 425.747"></polygon>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -52.339452, 258.094262)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -72.030066, 356.377952)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -334.783073, 355.121594)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 180.940638, 175.576369)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 365.123086, 355.000511)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 861.14108, 227.126374)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 691.755008, 131.421235)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 646.905728, 352.464054)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 938.425991, 352.864506)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 1085.387406, 353.665373)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 718.984908, -2.25898)"></circle>
  <circle cx="502.534" cy="72.843" rx="6.871" r="6.871" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 919.605292, 191.55392)"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 711.377826, 6.799724)">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 188.325978, 179.265469)">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 950.240262, 216.489736)">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 654.32765, 161.909633)">Z</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -88.35121, 264.673712)">Z</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="149.026" y="471.375">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="492.87" y="51.859" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 933.928218, 423.660559)">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="398.201" y="470.28" bx:origin="0.448 0.513">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="398.201" y="477.28" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 710.668853, -8.656202)" bx:origin="0.448 0.513">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="1592.331" y="475.069">C</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="865.214" y="473.523">C</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="1365.016" y="281.352">P</text>
</svg>
塞瓦定理
直线 $AX,BY,CZ$ 共点当且仅当$\frac{B X}{X C} \cdot \frac{C Y}{Y A} \cdot \frac{A Z}{Z B}=+1$

调和共轭点的直尺作图
设 $X$ 是直线 $BC$ 上的一个点，为了作出点 $X$ 关于线段 $BC$ 的调和共轭点，我们可以按下面的步骤进行：
⑴ 在直线 $BC$ 外任取一点 $A$，并作出直线 $AB$ 与 $AC$.
⑵ 在直线 $AX$ 上标出任意一点 $P$，并作直线 $BP,CP$ 各与直线 $CA,AB$ 交于点 $Y$ 和 $Z$.
⑶ 作直线 $YZ$ 与 $BC$ 的交点 $X'$.
<svg viewBox="0 11.526 960.678 468.729" style="height:200px" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:bx="https://boxy-svg.com">
  <defs></defs>
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="134.12" y1="55.525" x2="353.798" y2="409.983"></line>
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="107.59" y1="186.767" x2="501.313" y2="410.691"></line>
  <line style="fill: rgb(216, 216, 216); stroke: red;stroke-width:3px" x1="335.758" y1="247.612" x2="63.016" y2="407.861"></line>
  <polygon style="fill:none;stroke-width:3px;stroke:#000" points="132.306 52.719 63.408 407.495 500.503 408.837"></polygon>
  <circle cx="275.804" cy="283.059" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="106.418" cy="187.354" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="61.569" cy="408.397" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="353.089" cy="408.797" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="500.051" cy="409.598" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="133.648" cy="53.674" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <circle cx="334.269" cy="247.487" rx="6.871" r="6.871"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="116.377" y="41.749">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="345.24" y="234.439">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="59.327" y="196.859">Z</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="338.928" y="458.61">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="20.999" y="451.714" bx:origin="0.448 0.513">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="504.46" y="458.159">C</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="254.598" y="324.566">P</text>
  <polyline style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" points="106.622 186.469 936.621 411.944 62.003 406.308"></polyline>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="338.928" y="458.61" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 574.0507, -13.47217)">X'</text>
  <circle cx="933.892" cy="411.081" rx="6.871" r="6.871"></circle>
</svg>
则点 $X$ 和 $X'$ 调和分割点 $B$ 和 $C$.

1.1.5 点关于圆的幂

点 $P$ 关于圆 $C=O(R)$ 的幂就是数值 $C(P):=O P^2-R^2$.
幂是正值，零，或负值取决于点 $P$ 位于圆外，圆上，或圆内.
如果它是正的，其值就等于自点 $P$ 所引该圆的切线段长的平方.
<svg viewBox="0 0 798.642 584.814" height="200px" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <line style="stroke:blue;stroke-width:5px" x1="63.921" y1="393.848" x2="735.533" y2="435.144"></line>
  <polyline style="fill:none;stroke:red;stroke-width:5px" points="499.477 117.529 734.897 433.921 349.529 525.39"></polyline>
  <circle style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:5px" cx="292.224" cy="271.465" r="256.914"></circle>
  <circle style="fill:#000" cx="291.827" cy="271.576" r="8.529"></circle>
  <circle style="fill:#000" cx="291.827" cy="271.576" r="8.529" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 208.243272, -154.486979)"></circle>
  <circle style="fill:#000" cx="291.827" cy="271.576" r="8.529" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 210.416771, 148.353848)"></circle>
  <circle style="fill:#000" cx="291.827" cy="271.576" r="8.529" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 444.430112, 163.56834)"></circle>
  <circle style="fill:#000" cx="291.827" cy="271.576" r="8.529" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -227.180994, 122.271864)"></circle>
  <circle style="fill:#000" cx="291.827" cy="271.576" r="8.529" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 58.27186, 253.406276)"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 40px; font-style: italic;" x="16.816" y="429.782">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 40px; font-style: italic;" x="16.816" y="429.782" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 743.619881, 32.924865)">P</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 40px; font-style: italic;" x="520.282" y="468.742">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 40px; font-style: italic;" x="336.429" y="582.43">T'</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 40px; font-style: italic;" x="279.644" y="254.348">O</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 40px; font-style: italic;" x="513.747" y="107.135">T</text>
</svg>
相交弦定理
若经过点 $P$ 的直线 $\mathcal L$ 交圆 $C$ 于 $X,Y$ 两点，则乘积 $PX · PY$ (有向长度)的值就等于点 $P$ 关于此圆的幂.

1.2 三角形的外接圆与内切圆
对于一般的三角形 $ABC$，我们将用 $a,b,c$ 分别表示边 $BC,CA,AB$ 的长度.

1.2.1 外接圆

三角形 $ABC$ 的外接圆是唯一经过三个顶点 $A,B,C$ 的圆.其圆心，即外心 $O$，是三边垂直平分线的交点.
外接圆半径 $R$ 由正弦定理给出：$2 R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
<svg viewBox="5.397 10.794 1104.417 472.218" height="200px" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <polygon style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" points="133.231 72.487 72.392 374.803 444.328 372.921"></polygon>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="799.081" y="313.787">I</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -9.721312, 168.319203)">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 134.97509, 169.634629)">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="879.022" y="214.379">Z</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="705.688" y="54.966">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="705.688" y="54.966" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -583.016731, 2.631247)">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 439.440256, 162.838231)">C</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="457.116" y="406.842">C</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -590.644559, 122.71785)">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -360.445752, -22.636253)">O</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 35px; font-style: italic;" x="628.8" y="286.097" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -385.60319, 135.214382)">D</text>
  <polyline style="stroke-width:3px;stroke: rgb(0, 0, 0);fill:none" points="71.534 374.285 258.982 253.266 258.982 374.943"></polyline>
  <path style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" d="M 234.119 269.334 C 227.848 273.407 257.719 290.131 257.808 284.337"></path>
  <circle style="fill:none;stroke:red;stroke-width:3px" cx="781.93" cy="298.559" rx="114.339" r="114.339"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747"></circle>
  <polygon style="fill: none; stroke: rgb(0, 0, 0); stroke-width: 3px;" points="711.965 70.783 643.051 411.243 1064.351 412.222"></polygon>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 27.780698, -136.783942)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 140.02396, -114.574074)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 219.119599, -196.392211)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 139.256456, -1.206604)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 422.238094, -0.79449)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 70.219799, -342.375223)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -383.914643, -38.549713)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -195.771914, -37.876582)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -382.904933, -159.827096)"></circle>
  <circle cx="641.955" cy="412.678" rx="5.747" r="5.747" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -568.916063, -36.64244)"></circle>
  <circle cx="134.285" cy="71.954" rx="5.747" r="5.747"></circle>
  <path style="fill:none; stroke: rgb(0, 0, 0);stroke-width:3px" d="M 127.036 104.116 C 130.803 112.374 160.358 103.029 156.591 94.771"></path>
  <circle style="stroke: rgb(0, 0, 0); fill: none;stroke-width:3px" cx="259.152" cy="253.062" rx="222.567" r="222.567"></circle>
</svg>
1.2.2 内切圆
符号说明: S 表示三角形的面积的2倍
内切圆与三条边 $BC,CA,AB$ (不含延长部分)中的每一条都相切.它的圆心，即内心 $I$，是三条内角平分线的交点.内切圆半径 $r$ 与三角形的面积 $\frac12S$ 之间有如下关系$$S=(a+b+c) r$$若内切圆分别与边 $BC,CA,AB$ 切于 $X,Y,Z$ 各点，则$$
A Y=A Z=\frac{b+c-a}{2}, B Z=B X=\frac{c+a-b}{2}, C X=C Y=\frac{a+b-c}{2} .
$$
这些表达式常通过引入半周长 $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ 来化简为:
$$
A Y=A Z=s-a \quad, \quad B Z=B X=s-b \quad, \quad C X=C Y=s-c .
$$
同时有 $r=\frac{S}{2 s}$.

1.2.3 圆 $O$ 与圆 $I$ 的位似中心
<svg height="200px" viewBox="0 0 460.809 542.984" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <defs></defs>
  <polygon style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" points="109.355 89.865 49.305 393.911 420.354 393.279"></polygon>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762"></circle>
  <path style="fill:none;stroke:#f00;stroke-width:3px" d="M 173.346 291.467 L 172.743 393.345 L 236.041 52.142 L 235.438 494.621 L 122.105 310.757"></path>
  <ellipse style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" cx="173.538" cy="293.275" rx="101.278" ry="101.278"></ellipse>
  <line style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" x1="120.088" y1="308.82" x2="236.18" y2="273.435"></line>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 23.074462, -119.828211)"></circle>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 70.497901, -85.457091)"></circle>
  <circle cx="173.541" cy="292.154" rx="5.762" r="5.762"></circle>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 142.720747, -106.340802)"></circle>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 186.228451, -118.95805)"></circle>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 194.494933, -172.907629)"></circle>
  <circle cx="110.705" cy="90.924" rx="5.762" r="5.762"></circle>
  <circle cx="235.663" cy="52.657" rx="5.762" r="5.762"></circle>
  <circle cx="49.964" cy="393.265" rx="5.762" r="5.762" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 371.136331, 0.39817)"></circle>
  <circle cx="235.887" cy="495.139" rx="5.762" r="5.762"></circle>
  <circle cx="173.365" cy="393.674" rx="5.762" r="5.762"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="95.718" y="74.336">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="95.718" y="74.336" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 132.89814, -37.118937)">M'</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="255.226" y="213.888">Y</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="435.733" y="417.1">C</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="221.861" y="539.067">M</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="10.29" y="424.191">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="149.277" y="436.347">X</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="198.902" y="320.458">T</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="244.527" y="303.439">O</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="158.924" y="283.584">I</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="89.496" y="310.68">T'</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="40.897" y="278.937">Z</text>
  <ellipse style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" cx="236.064" cy="272.717" rx="222.254" ry="222.254"></ellipse>
</svg>
分别用 $T$ 及 $T'$ 表示三角形 $ABC$ 的外接圆与内切圆的内位似中心及外位似中心,这两个点调和分割线段 $OI$ 成比例$$OT: TI=R : r,OT':T'I=R :-r .$$
练习
⒈ 用塞瓦定理证明直线 $AX,BY,CZ$ 共点.（这个交点称为三角形的约尔刚点）.
⒉ 在三角形 $ABC$ 内作三个圆，使其中每个圆都通过约尔刚点并与三角形的两边相切，则 6 个切点共圆.
⒊ 已知三点 $A , B, C$ 不共线，作三个圆分别以 $A , B , C$ 为圆心且互相外切.
⒋ 如果两个圆在一个交点处的两条切线互相垂直，则此两圆称为互相正交.已知不共线的三点 $A, B , C$，作三个圆分别以这些点为圆心并互相正交.
⒌ 两个圆 $A(a)$ 与 $B (b)$ 的圆心距 $AB = d$. 直线 $AB$ 分别与两个圆交于点 $A'$ 及 $B'$ 使 $A , B$ 在 $A',B'$ 之间.
⑴ 自点 $A'$ 引圆 $B(b)$ 的两条切线，作一圆与这两条切线相切并与圆 $A(a)$ 相内切.
⑵ 自点 $B'$ 引圆 $A(a)$ 的两条切线，作一圆与这两条切线相切并与圆 $B(b)$ 相内切.
证明⑴与⑵中所作的两个圆是等圆.
<svg height="200px" viewBox="5.397 10.794 890.33 439.835" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <circle style="fill:none; stroke: rgb(0, 0, 0);stroke-width:3px" cx="278.379" cy="230.879" rx="211.774" r="211.774"></circle>
  <circle style="fill:none; stroke: rgb(0, 0, 0);stroke-width:3px" cx="717.656" cy="230.938" rx="211.774" r="125.224"></circle>
  <polyline style="fill: none; stroke: red;stroke-width:3px" points="693.196 105.816 64.766 230.938 694.137 353.237"></polyline>
  <polyline style="fill:none;stroke:blue;stroke-width:3px" points="357.344 34.318 843.718 230.938 359.225 427.087"></polyline>
  <circle cx="358.202" cy="33.894" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <line style="fill:none; stroke: green;stroke-width:3px" x1="66.362" y1="230.618" x2="843.224" y2="231.579"></line>
  <ellipse style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" cx="421.787" cy="230.271" rx="68.412" ry="68.412"></ellipse>
  <ellipse style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" cx="661.325" cy="230.271" rx="68.412" ry="68.412"></ellipse>
  <circle cx="66.125" cy="230.732" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="279.228" cy="230.263" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="422.665" cy="231.122" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="491.355" cy="231.122" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="408.364" cy="298.406" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="359.658" cy="427.527" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="692.289" cy="354.468" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="688.037" cy="295.132" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="718.188" cy="230.577" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="659.818" cy="231.737" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="592.558" cy="230.964" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="842.659" cy="232.897" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="687.65" cy="166.86" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="693.449" cy="105.784" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <circle cx="409.395" cy="163.252" rx="6.192" r="6.192"></circle>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="19.265" y="251.702">A'</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="268.231" y="265.478">A</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="697.555" y="265.157">B</text>
  <text style="fill: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 30px; font-style: italic;" x="856.517" y="254.831">B'</text>
</svg>
⒍ $Z$ 是线段 $AB$ 上的一个定点，作直角三角形 $ABC$，使其内切圆切斜边 $AB$ 于点 $Z$.
[P. Yiu，G. Leversha, and T.Seimiya，Problem 2415 and solution，Crux Math. 25(1999) 110；26(2000) 62―64.]
⒎ （折纸）下图所示的是一个边沿具有统一宽度的长方形薄纸片.纸片的尺寸和形状可以是任意的，但其边沿宽度必须是一致的，且使得里面长方形的面积恰好等于整个纸片面积的一半.你没有直尺或圆规可用，甚至连铅笔也没有，必须完全靠折纸来确定里面的长方形.
<svg viewBox="0 0 761.416 356.754" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <defs></defs>
  <rect x="11.043" y="10.502" width="741.254" height="335.801" style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px"></rect>
  <rect x="75.563" y="73.556" width="612.213" height="210.425" style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px"></rect>
</svg>
⒏ 设 $ABC$ 是一个具有内心 $I$ 的三角形.[Problem 2519，Journal of Recreational Mathematics，30(1999―2000) 151―152]
(1a) 自内切圆在 $BC$ 边切点（在内切圆上）的对径点作内切圆的切线，交 $CA$ 于点 $Y_1$ ，交 $AB$ 于点 $Z_1$.
(1b) 对于边 $CA$，同(a)中的作图，并设所作切线交 $AB$ 于点 $Z_2$ ，交 $BC$ 于点 $X_2$ .
(1c) 对于边 $AB$，同(a)中的作图，并设所作切线交 $BC$ 于点 $X_3$ ，交 $BC$ 于点 $Y_3$ .
(2)注意 $A Y_3=A Z_2$.作一圆分别与 $AC$ 及 $AB$ 切于点 $Y_3$ 及 $Z_2$ .这个圆与三角形 $ABC$ 的外接圆是如何相交的？
⒐ $△ABC$ 的内切圆分别与边 $BC,CA,AB$ 切于点 $D , E, F$. $X$ 是 $△ ABC$ 内一点，使得 $△ XBC$ 的内切圆与边 $BC$ 也切于点 $D$，并分别与边 $CX$ 及 $XB$ 切于点 $Y , Z$.[IMO 1996]
(1) 四点 $E, F, Z, Y$ 共圆.
(2) 圆 $EFZY$ 的圆心的轨迹是什么？

1.2.4 海伦公式
<svg viewBox="0 0 706.642 752.545" id="Heron" height="400px" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <polygon style="fill:none;stroke:#000;stroke-width:3px" points="171.611 44.962 107.824 367.443 501.546 368.176"></polygon>
  <path style="fill:none;stroke:red;stroke-width:3px" d="M 695.841 680.195 C 680.949 424.398 402.123 281.089 193.955 422.237 C 104.043 483.202 49.504 586.092 48.435 696.767" transform="translate(0,2)"></path>
  <circle style="fill:none;stroke-width:3px;stroke:#000" cx="238.598" cy="261.009" rx="107.046" r="107.046"></circle>
  <line style="stroke:#000;stroke-width:3px;stroke-dasharray:15 15" x1="106.253" y1="370.549" x2="53.406" y2="629.6"></line>
  <polyline style="stroke:#000;stroke-width:3px;stroke-dasharray:15 15;fill:none" points="312.651 182.606 236.71 261.426 502.383 367.899 372.096 689.057 597.339 458.776 502.802 367.959"></polyline>
  <line style="stroke:#000;stroke-width:3px;" x1="171.12" y1="45.085" x2="372.263" y2="692.349"></line>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 65.991794, 215.058149)"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -40.25728, 193.381871)"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 140.885001, 137.364825)"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 199.961708, 321.473943)"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 65.861785, 322.586497)"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, -65.067284, 322.25273)"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 330.390025, 323.476543)"></circle>
  <circle cx="55.272" cy="627.666" rx="6.598" r="5"></circle>
  <circle cx="373.277" cy="690.807" rx="6.598" r="5"></circle>
  <circle cx="172.275" cy="45.328" rx="6.598" r="5" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 424.401364, 413.441825)"></circle>
  <text y="594.997" x="496.559" font-size="30px" font-style="italic" font-family="Times">r<tspan style="font-size: 25px;" dy="4" dx="-2">a</tspan></text>
  <text y="731.463" x="365.382" font-size="30px" font-style="italic" font-family="Times">I<tspan style="font-size: 25px;" dy="4" dx="2">a</tspan></text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="250.344" y="106.729">s−a</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="412.26" y="268.802">s−c</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="564.389" y="410.695">s−b</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="11.966" y="504.066">s−c</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="76.09" y="387.633">B</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="213.785" y="277.423">I</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="210.859" y="398.044">X</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="321.627" y="183.025">Y</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="96.288" y="243.05">Z</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="255" y="221.329">r</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="155.346" y="33.632">A</text>
  <text style="font-family: Consolas; font-size: 30px; font-style: italic;" x="361.309" y="409.767">X′</text>
  <text x="608.075" y="456.362" style="font-family: Consolas; font-size: 30px; font-style: italic;">Y′</text>
  <text style="font-family: Consolas; font-size: 30px; font-style: italic;" x="11.795" y="638.352">Z′</text>
  <text style="font-family: Times; font-size: 30px; font-style: italic;" x="76.09" y="387.633" transform="matrix(1, 0, 0, 1, 442.120496, -10.845843)">C</text>
</svg>
三角形 $ABC$ 的面积由下式给出$$\frac{S}{2}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
这一公式可以很容易地通过计算三角形的内切圆半径 $r$ 和任一旁切圆的半径来导出.考虑旁切圆 $I_a ( r_a )$ ，它的圆心是角 $A$ 的内角平分线与角 $B$，角 $C$ 的外角平分线的交点.如果内切圆 $I (r)$ 和这个旁切圆分别与直线 $AC$ 切于点 $Y$ 及点 $Y'$ 则
(1) 由相似三角形 $AIY$ 和 $A I_a Y'$ ，得$$\frac{r}{r_{a}}=\frac{s-a}{s}$$
(2) 由相似三角形 $CIY$ 和 $I_a CY'$ ，得$$r \cdot r_{a}=(s-b)(s-c)$$
由此可得$$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$
据此我们就得到了著名的关于三角形面积的海伦公式$$\frac{S}{2}=r s=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

练习
⒈ $R=\frac{abc}{2S}$
⒉ $r_{a}=\frac{S}{b+c-a}$
⒊ 设三角形 $ABC$ 的内切圆分别切边 $BC ,CA , AB$ 于点 $X,Y ,Z$. 设 $X' ,Y' ,Z'$ 是点 $X, Y , Z$ 在内切圆上的对径点. 作出射线 $AX', BY'$ 和 $CZ'$. 证明这三条射线分别与三角形相应边的交点也就是对应旁切圆在该边的切点.
⒋ 作出三角形 $ABC$ 的切圆.
(1) 连结各个旁心与对应边的中点.则这三条连线交于一点 $P$（这个点称为三角形 $ABC$ 的中间点(Mittenpunkt)）.
(2) 连结各个旁心与内切圆在对应边的切点.则三条连线交于另一点 $Q$.
(3) 直线 $AP$ 和 $AQ$ 关于$∠A$ 的平分线对称；直线 $BP$ 和 $BQ,CP$ 和 $CQ$ 也是对称的(分别关于$∠B ,∠C$ 的角平分线).
⒌ 作出三角形 $ABC$ 的旁切圆.
(1) $D , E, F$ 分别是边 $BC , CA , AB$ 的中点.作出三角形 $DEF$ 的内心 $S$ [脚注: 这个点称为三角形 $ABC$ 的斯俾克点]，以及由点 $S$ 对每个旁切圆所引出的切线.
(2) 这 6 个切点共圆，所共之圆与每个旁切圆都正交.

hbghlyj · 发表于 2022-2-6 21:29

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-8-25 23:39 编辑

本楼包含process svg的代码

以下采用TikZ代替hand-coded svg.
以下都以“练习”作为帖子结束

hbghlyj · 发表于 2022-8-26 05:54

1.3 欧拉公式与斯坦纳系

1.3.1 欧拉公式

作三角形 $ABC$ 的外接圆 $O (R)$. 平分角 $A$ 并把角平分线与外接圆的交点记为点 $M$. 作圆 $M (B )$ 交这条角平分线于点 $I$. 则 $I$ 是内心.
证明:$$\angle I B C=\frac{1}{2} \angle I M C=\frac{1}{2} \angle A M C=\frac{1}{2} \angle A B C$$
同理有$\angle I C B=\frac{1}{2} \angle A C B$. $\blacksquare$
三角形的外心与内心间的距离由以下公式给出$$O I^{2}=R^{2}-2 R r$$
证明: 注意到
\begin{aligned}
&I M=M B=M C=2 R \sin \frac{A}{2}\\
&I A=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}
\end{aligned}根据相交弦定理, $R^2-O I^2=$ 点 $I$ 关于外接圆的幂 $=I A \cdot I M=2 R r$. $\blacksquare$

1.3.2 斯坦纳系(脚注:也被称为彭赛列系.)

作出三角形 $ABC$ 的外接圆 $(O )$ 与内切圆 $(I )$ .
点 $A$ 是外接圆上的一个动点，过点 $A$ 作内切圆 $(I )$ 的切线，延长两条切线与外接圆又交于点 $B$ 及 $C$.
则直线 $BC$ 始终与内切圆相切.
这就是著名的斯坦纳系定理：如果两个定圆分别是某一三角形的外接圆和内切圆，则它们也是一族连续的内接外切三角形的外接圆和内切圆.

练习
⒈ $r≤\frac12R$. 何时等号成立？
⒉ 设 $OI = d$. 证明存在一个直角三角形，其三边长分别是 $d,r$ 及 $R - r$. 这三个值中哪一个是斜边长？
⒊ $I$ 是圆 $O (R)$ 内的一个定点，作圆 $I (r )$ ，使得 $O (R )$ 与 $I (r )$ 是一族内接外切三角形的外接圆和内切圆.
⒋ 已知三角形的外心，内心以及一个顶点，作出这个三角形.
⒌ 制作一个外心在内切圆上的三角形的动画. [提示：$OI=r$]

hbghlyj · 发表于 2022-8-26 06:19

1.4 伪内切圆

三角形的伪内切圆是指与三角形的两边相切并与外接圆相内切的圆.
$A$–伪内切圆 $K ( ρ )$ 与外接圆的切点记为 $A '$. 圆心 $K$ 显然在角 $A$ 的内角平分线上，且 $AK : KI = ρ :- ( ρ - r )$. 根据重心坐标，有
$$K=\frac{1}{r}[-(\rho-r) A+\rho I]$$另外，因为外接圆 $O ( A')$ 与伪内切圆 $K ( A')$ 相互切于点 $A '$，所以有 $OK : KA' = R - ρ : ρ $，这里 $R$ 是外接圆的半径.
由此，可得$$K=\frac{1}{R}\left[\rho O+(R-\rho) A^{\prime}\right]$$
比较这两个等式，通过移项，可得$$\frac{R I-r O}{R-r}=\frac{R(\rho-r) A+r(R-\rho) A^{\prime}}{\rho(R-r)}$$
我们注意到这个公式的一些有趣的结果.首先，它给出了直线 $AA'$ 与 $OI$ 的交点. 其次，由§1.2.3知，左侧表示的直线 $OI$ 上的点正是 $T '$.

这引出了伪内切圆的如下简单作法：[脚注: P.Yiu，Mixtilinear incircles，Amer. Math. Monthly 106(1999) 952―955.]
已知三角形 $ABC$，设 $T'$ 是三角形外接圆 $(O )$ 与内切圆 $(I )$ 的外位似中心.延长 $AT'$ 与外接圆交于点 $A '$. 则直线 $AI$ 与 $A'O$ 的交点就是 $A$–伪内切圆的圆心 $K_A$.
另外两个伪内切圆可以类似作出.

练习
⒈ 外接圆与内切圆的两个位似中心都在 $\triangle ABC$ 内部.
证明:
外接圆与内切圆的内位似中心是X(55), 它的三线坐标为$1 + \cos A : 1 + \cos B : 1 + \cos C$, 而$1+\cos A>0$, 所以X(55)总是在 $\triangle ABC$ 内部.
外接圆与内切圆的外位似中心是X(56), 它的三线坐标为$1-\cos A : 1-\cos B : 1 - \cos C$, 而$1-\cos A>0$, 所以X(56)总是在 $\triangle ABC$ 内部.
⒉ 存在三个圆，每一个都与外接圆在三角形的顶点处相内切并与内切圆相外切. 已知连结每个圆与外接圆 $(O )$ 及内切圆 $(I )$ 的切点所得到的直线都通过圆 $(O )$ 与圆 $(I )$ 的内位似中心 $T$. 作出这三个圆.[脚注: A.P. Hatzipolakis and P.Yiu，Triads of circles，preprint.]

解: 作 $TA$ 与内切圆的交点 $X$, 作 $AX$ 的中垂线与 $OA$ 的交点 $J_A$, 则圆 $J_A(A)$与外接圆和内切圆相切.
⒊ 设 $T$ 是圆 $(O )$ 与圆 $(I )$ 的内位似中心，$Y$ 和 $Z$ 分别是其在 $CA$ 和 $AB$ 上的垂足. 如果 $Y'$ 及 $Z'$ 是 $Y$ 和 $Z$ 在 $BC$ 上的垂足，计算 $Y'Z'$ 的长.[脚注: A.P. Hatzipolakis and P.Yiu，Pedal triangles and their shadows，Forum Geom. (2001)81―90]

解:
$O$到$AC$的距离为$R\cos B$, $I$到$AC$的距离为$r$, 故$$TY=\frac{r\cdot R\cos B+R\cdot r}{R+r}=Rr\frac{\cos B+1}{R+r}$$
\begin{aligned}Y'Z'&=XY'+XZ'\\&=TY\sin C+TZ\sin B\\&=Rr\frac{(\cos C+1)\sin C+(\cos B+1)\sin B}{R+r}\\&=Rr\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{R+r}\end{aligned}

hbghlyj · 发表于 2022-8-26 06:43

第2章欧拉线与九点圆

2.1 欧拉线

2.1.1 位似

位似变换 $h (T,r )$ 将点 $X$ 变为点 $X '$，且有 $TX ' : TX = r : 1$，称为具有位似中心 $T$ 及位似比 $r$ 的位似变换.

2.1.2 重心

三角形的三条中线交于三角形的重心，重心分每条中线成 $2 : 1$ 的比.
若 $D,E,F$ 分别是三角形 $ABC$ 中边 $BC,CA,AB$ 的中点，则重心 $G$ 分中线 $AD$ 成比例 $AG : GD = 2 : 1$.

中点三角形 $DEF$ 是三角形 $ABC$ 在位似变换 $h (G,-\frac12)$ 下的像.
中点三角形外接圆的半径等于$\frac12R$, 圆心 $N$ 是 $O$ 在 $h(G,-\frac12 )$ 下的像. $OG : GN = 2 : 1$.

2.1.3 垂心

三角形 $A'B'C '$ 是三角形 $ABC$ 在位似变换 $h (G,-2)$ 下的像[脚注: 这个三角形称为反补三角形]. 因为三角形 $ABC$ 的高线是三角形 $A'B'C '$ 各边的中垂线，所以三条高线相交于外心 $O$ 在上述位似变换下的像.
此点称为三角形 $ABC$ 的垂心，通常记为 $H$. 注意 $OG : GH = 1 : 2$.
包含点 $O,G,H$ 的直线称为三角形 $ABC$ 的欧拉线.等边三角形的欧拉线是不确定的，因为此时这几个点重合.

练习
⒈ 一个三角形是等边三角形的充要条件是它的外心，重心与垂心中的两个点相重合.
⒉ 中点三角形的外心 $N$ 是线段 $OH$ 的中点.
⒊ 三角形 $HBC ,HCA , HAB$ 的欧拉线共点，所共点在三角形 $ABC$ 的欧拉线上.这个交点是什么点？
⒋ 三角形 $IBC , ICA , IAB$ 的欧拉线也相交于三角形 $ABC$ 的欧拉线上一点.[脚注: Problem 1018，Crux Mathematicorum. 见Crux_v11n02_Feb.pdf第51页(原页码)]
⒌ （戈萨德定理）设三角形 $ABC$ 的欧拉线分别与边线 $BC,CA ,AB$ 交于点 $X,Y,Z$. 则三角形 $AYZ,BZX$ 和 $CXY$ 的欧拉线交成一个与三角形 $ABC$ 位似的三角形. 位似比是 $- 1$，位似中心在三角形 $ABC$ 的欧拉线上.
⒍ 与三角形 $ABC$ 有共同外接圆与内切圆的内接外切三角形的重心的轨迹是什么？垂心呢？
⒎ $A'B'C'$ 表示与三角形 $ABC$ 有共同外接圆与内切圆的内接外切三角形，设边线 $B'C ' , C 'A' , A'B '$ 与内切圆切于点 $X, Y ,Z$.
(i) 三角形 $XYZ$ 的重心的轨迹是什么？
(ii) 三角形 $XYZ$ 的垂心的轨迹是什么？
(iii) 你能说说三角形 $XYZ$ 的欧拉线的特点吗？

hbghlyj · 发表于 2022-8-26 10:22

本帖最后由 hbghlyj 于 2023-2-25 03:40 编辑 2.2 九点圆

2.2.1 作为中位三角形的欧拉三角形

三角形 $ABC$ 在位似变换 $h ( P,\frac12 )$ 下的像称为点 $P$ 的中位三角形. 垂心 $H$ 的中位三角形称为欧拉三角形.
点 $P$ 的中位三角形的外心是线段 $OP$ 的中点. 特别的，欧拉三角形的外心是 $OH$ 的中点，即点 $N$.
中点三角形与欧拉三角形有共同的外接圆.

2.2.2 作为垂足三角形的垂心三角形

点 $P$ 的垂足是指三角形的边线与这边经过 $P$ 点的垂线的交点.它们构成点 $P$ 的垂足三角形.垂心的垂足三角形称为三角形 $ABC$ 的垂心三角形.
垂心 $H$ 在边 $BC$ 上的垂足 $X$ 也是顶点 $A$ 在同一边上的垂足，还可以看作点 $A$ 关于直线 $EF$ 的反射点.

由此可得 $∠EXF = ∠EAF = ∠EDF$，因为 $AEDF$ 是平行四边形. 据此，知点 $X$ 在圆 $DEF$ 上. 类似的，$H$ 在另两条边 $CA$ 和 $AB$ 上的垂足 $Y$ 和 $Z$ 也在这个圆上.

2.2.3 九点圆

根据上文§2.2.1,2 节，中点三角形，欧拉三角形和垂心三角形有共同的外接圆.这个圆称为三角形 ABC 的九点圆.这个圆的圆心 N ，即线段 OH 的中点，称为三角形 ABC 的九点圆心.
练习
⒈ 欧拉线上的几个点之间有关系：$OG : GN : NH = 2 : 1 : 3$.
⒉ 设 P 是外接圆上的点.线段 HP 的中点的轨迹是什么？你能给出一个证明吗？
⒊ 已知三角形 ABC 及一点 P .自点 P 作 PA ，PB ，PC 的垂线分别与直线 BC ，CA ，AB 交于点 A' ， B ' ， C ' .
(1) $A ', B ', C '$ 共线.³
(2)（直角）三角形 PA A' ， PB B ' ， PCC ' 的九点圆共点于点 P 及另一点 P'. 等价地，
这三个九点圆的圆心共线.⁴
⒋ 如果线段 AP ， BP ， CP 的中点都在九点圆上，则点 P 必须是三角形 ABC 的垂心吗？
⒌ （折纸）设 N 表示三角形 ABC 的九点圆心.
(1) 折出直线 AN 在点 N 处的垂线，并交 CA 于点 Y ，交 AB 于点 Z .
(2) 折出点 A 关于直线 YZ 的反射点 A' .
(3) 折出点 B 关于 A'Z 以及点 C 关于 A'Y 的反射点.
对于这些反射点，你观察到些什么？

³ B. Gibert，Hyacinthos 1158,8/5/00.
⁴ A.P. Hatzipolakis，Hyacinthos 3166，6/27/01. AA' ， BB' ， CC ' 的中点共线.三个九点圆交于 P 点及其在这条直线上的垂足.
⁵ 是的.见 P. Yiu and J.Young，Problem 2437 and solution，Crux Math. 25(1999) 173；26(2000) 192.

hbghlyj · 发表于 2023-2-25 10:47

2.2.4 九点圆心在外接圆上的三角形

我们从一个以点 O 为圆心的圆及圆上一点 N 开始，来作出一族以圆 (O ) 为外接圆，并以点 N 为九点圆心的三角形。
(1) 以 N 为圆心，通过线段 ON 的中点 M 作九点圆。
(2) 在九点圆位于外接圆内部的那段劣弧上取一动点 D。
(3) 以点 D 为中点作外接圆的弦 BC（这显然是 OD 在点 D 处的垂线）。
(4) 用 X 表示点 D 在九点圆上的对径点。作出平行四边形 ODXA（通过平移向量 DO 至 X）。
则点 A 在外接圆上，三角形 ABC 就是满足九点圆心 N 在外接圆上的三角形。
按下面方法作出的三角形有一个奇特的性质：点 A'，B'，C' 分别是点 A，B，C 关于对边的反射点。则自反射三角形 A'B'C' 是退化的，即三个点 A'，B'，C' 共线。

2.3 西摩松线与反射

2.3.1 西摩松线

设 P 是三角形 ABC 外接圆上的一个点。
(1) 作出它在三角形各边线上的垂足。则三个垂足总共线。包含这些垂足的直线 s (P) 称为点 P 的西摩松线。
(2) P' 是点 P 在外接圆上的对径点。作出点 P' 的西摩松线 s(P')，并追踪交点 s (P) ∩ s(P')。你能确定出这个轨迹吗？
(3) 西摩松线 s(P) 分别与边线 BC，CA，AB 交于点 X，Y，Z。三角形 AYZ，BZX，CXY 的外心构成一个与三角形 ABC 位似的三角形。位似中心是点 P，位似比是 1。因此这三个外心都在一个与外接圆切于点 P 的圆上。

⁶ O. Bottema，Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde，Chapter 16.

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[考古]Introduction to the Geometry of the Triangle

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