天山草——梅涅劳斯定理

dlsh

堪比原梅涅劳斯定理，应该写入教材

力工

怎么觉得就是梅氏定理呢？能详细说说区别吗？谢谢！

hbghlyj

力工 发表于 2023-2-19 13:28
怎么觉得就是梅氏定理呢？能详细说说区别吗？谢谢！

《奥赛经典—奥林匹克数学中的几何问题》第1章 第2页 式$\enclose{circle}3$
\begin{align*}
\det(A',B',C')=0&⇔\frac{B A'}{A' C}⋅\frac{C B'}{B' A}⋅\frac{A C'}{C' B}=1\\
&⇔\frac{C' A}{A B}⋅\frac{B C}{C A'}⋅\frac{A' B'}{B' C'}=1\\
&⇔\frac{B' A}{A C}⋅\frac{C B}{B A'}⋅\frac{A' C'}{C' B'}=1\\
&⇔\frac{A B}{B C'}⋅\frac{C' A'}{A' B'}⋅\frac{B' C}{C A}=1
\end{align*}


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kuing

dlsh 发表于 2023-2-19 21:22
原定理三项，这条四项，建议先查网上再提问

将两条三项的相除就得到四项的。

比如将前两条
\begin{align*}
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}&=1,\\
\frac{AB}{BF}\cdot\frac{FD}{DE}\cdot\frac{EC}{CA}&=1,
\end{align*}
相除得
\[\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CA}{AE}\cdot\frac{ED}{DF}\cdot\frac{FA}{AB}=1,\]
就是图中倒数第二条。

isee

古老Menelaus定理，本身谈的就边的分点共线（与比例关系），自然包括分外…

hejoseph

Menelaus 定理本身准确来说应该用有向线段表示的，此时有向线段比的乘积是 $-1$ 而不是 $1$。Menelaus 定理尚且未收录到教材（奥数等课外教材除外），而且 Menelaus 定理是有广泛应用的，这个定理的应用场景又是什么呢，这个为什么应该收录呢？

dlsh

这是原作者的发现，以前我们读初中时有，但是不记得是否注明Menelaus 定理，或许应用不是那么广泛，但是密切相关，所以如此建议。其实有很多定理应用不广泛