bump function

hbghlyj

$ℝ^n$上的隆起函数$f:ℝ^n→ℝ$是一个仅在某“一小块区域”上取值不为零的光滑函数。它在$ℝ^n$绝大部分区域取值都是0，仅仅在某个紧区域上有非零值。
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一维的隆起函数的例子:$$\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$$\Psi∈C^∞(ℝ)$可以由$\raise1ex\text{“}\mmlToken{mtext}[style="font-family:simsun"]{对任意有理函数}f(x),{\displaystyle\lim_{x→0^+}f(x)\exp\left(-\frac1x\right)=0}\raise1ex\text{”}$推出.
这个构造可以推广:
取$g∈C^∞(ℝ)$使得$g^{(n)}(0)=0,\;n=0,1,\dots,$则$\Psi:ℝ→ℝ,\;\Psi(x)=g(1-x^2)$是隆起函数.

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$x \inR^n, t \inR^1, S_{+}=\mathbb R^n \times\{t>0\}$,
（由于 $S_+$ 是空间 $\mathbb R^{n+1}$ 被平面分割的两个部分之一，我们称之为“半空间”）
给定一个光滑函数 $f:S_+\to\Bbb R$，它需要满足什么条件才能扩展为整个空间 $\mathbb R^{n+1}$ 中的光滑函数？

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不能仅通过镜像反射来扩展，因为它会使函数在边界 $t=0$ 处不光滑，例如$n=0,$
$f:\{t>0\}\to\Bbb R,f(t)=t$被镜像反射扩展为绝对值函数，它在 $t=0$ 处不光滑。

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解法很简单，
令 $\phi$ 为一维光滑函数，满足：对于 $0 \leqq t \leqq 1$，$\phi(t)=0$；对于 $t \geqq 2$，$\phi(t)=1$.

对于 $t<0$，我们考虑 $f(x,t)$ 的一系列镜像反射($b_k<0$)的总和
$$(E f)(x, t)=\sum_0^{\infty} a_k\,\phi(b_k t)\hskip0.05emf(x, b_k t)$$
通过巧妙选择数列 $\{a_k\},\{b_k\}$，可以使 $(E f)(x, t)$ 的各阶导数在边界 $t=0$ 处与 $f(x,t)$ 一致

R.T. Seeley 1963