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en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function#A_smooth_func ... owhere_real_analytic
它可以通过傅里叶级数构造如下。对所有 $x \in \mathbb{R}$ 定义
$$F(x):=\sum_{k\in \mathbb{N}} e^{-\sqrt{2^k}}\cos(2^k x)$$
由于级数 $\sum_{k\in \mathbb{N}} e^{-\sqrt{2^k}}{(2^k)}^n$ 对所有 $n \in \mathbb{N}$ 收敛，通过 Weierstrass M-判别法和归纳法，很容易看出这个函数属于 $C^∞$ 类，以证明每个导数级数的一致收敛。
我们现在证明 $F(x)$ 在任何 $π$ 的二进有理倍数处都不是解析的，也就是说，在任何 $x := \pi \cdot p \cdot 2^{-q}$ 和 $p \in \mathbb{Z}$ 和 $q \in \mathbb{N}$。由于前 $q$ 项的总和是解析的，我们只需要考虑$F_{>q}(x)$，即$k>q$ 项的总和。对于所有具有$n = 2^m$ ($m \in \mathbb{N},m \geq 2,m > q/2$) 阶的导数 ，我们有
$$F_{>q}^{(n)}(x):=\sum_{k\in \mathbb{N}\atop k>q} e^{-\sqrt{2^k}} {(2 ^k)}^n\cos(2^k x) = \sum_{k\in \mathbb{N}\atop k>q} e^{-\sqrt{2^k}} {(2^k)} ^n \ge e^{-n} n^{2n}\quad (当 n\to \infty)$$
其中使用了 $\cos(2^k x) = 1$ (因为 $2^k > 2^q$) ，并且第一个总和不小于 $2^k=2^{2m}=n^2$。
因此，在任何这样的 $x \in \mathbb{R}$,
\[\limsup_{n\to\infty} \left(\frac{|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}\right)^{1/n}=+∞ \]
使得 $F_{>q}$ 的 Taylor 级数在 $x$ 处的收敛半径根据 Cauchy-Hadamard 公式为 0。由于函数的解析性集是开集，并且由于二进有理数是稠密的，因此我们得出结论，$F_{>q}$，因此 $F$，在 $\mathbb{R}$ 中无处可解析。 |
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