\begin{theorem}[开集构造定理] 设$U$是$\mathbb{R}$中的任意一个开集，则$U$必能表示为至多可数个开区间之并。其中至多可数是指有限个或可数个。 \end{theorem} \begin{proof} 设$\mathcal{B}=\{(a,b): a,b\in\mathbb{Q}, a<b\}$，由于$\mathbb{Q}$可数，所以$\{a\},\{b\}$都可数，而可数个可数集仍可数，于是$\mathcal{B}$是可数集族。

设$U$是$\mathbb{R}$中的任意一个开集，于是对任意的$x\in U$都存在实数$\varepsilon_x>0$，使得$(x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x)=B(x,\varepsilon_x)\subseteq U$。由于有理数在实数中稠密，所以能选择有理数$a_x,b_x$使得$x-\varepsilon_x<a_x<x<b_x<x+\varepsilon_x$，则有$(a_x,b_x)\subseteq U$，由$x$的任意性知$\bigcup_{x\in U}(a_x,b_x)\subseteq U$，但显然有$U=\bigcup_{x\in U}\{x\}\subseteq\bigcup_{x \in U}(a_x,b_x)$，于是$U=\bigcup_{x\in U}(a_x,b_x)$，于是$U$能表示为$\mathcal{B}$中某些元素之并，而$\mathcal{B}$是可数集族，于是$U$能表示为至多可数个开区间之并，由$U$的任意性知命题成立。 \end{proof}