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记 $\mathbb{N}$ 为全体正整数组成的集合. 若一个 $\mathbb N$ 的子集 $A$ 满足对任意 $x, y \in A$ ($x,y$ 不必相异), 都有 $x+y \notin A$ 则我们称 $A_{i}$ 是好的. 求所有的满射 $f:\mathbb N \rightarrow\mathbb N$, 使得对任意 $\mathbb N$ 的无求和子集 $A$ 都有 $\{f(a): a \in A\}$ 还是无求和的.
来源2020 罗马尼亚大师杯
题目 1 在直角三角形 $A B C$ 中, $\angle C$ 是直角, $I$ 是直角三角形 $A B C$ 的内心, $D$ 是 $C$ 在 $A B$ 上的垂足, $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 分别为 $A B C$ 内切圆 $\omega$ 在 $B C, C A, A B$ 上的切点, 设 $E, F$ 分别为 $C$ 关于 $A_{1} C_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的对称点, $K, L$ 是 $D$ 关于 $A_{1} C_{1}, B_{1} C_{1}$ 的对称点, 证明: $A_{1} E I, B_{1} F I, C_{1} K L$ 的外接圆交于一点.
题目 2 设 $N \geq 2$ 是一个整数，令 $\mathbf{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, \ldots ,b_{N}\right)$ 是两个分量为非负整数的向量。脚标按 $\text{mod}\ n$ 理解。若对一切 $i$ 都有
$$
a_{i}=\frac{1}{2 b_{i}+1} \sum_{s=-b_{i}}^{b_{i}} a_{i+s}
$$
则称 $\mathbf{a}$ 为 $\mathbf{b}$ 好的。若 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 互为好的，证明: 两列数中至少 $N+1$ 个数为 0 .
题目 3 设整数 $n \geq 3$, 某个国家有 $n$ 座机场, 且有 $n$ 个航空公司, 这些航空公司经营的都是双向航线. 对任意航空公司, 都存在奇数座机场 $c_{1}, \ldots, c_{m}$, 使得这个航空公司经营的航线恰好是 $c_{i}$ 到 $c_{i+1}, i=1,2,3, \ldots, m$. 证明：存在一个奇长的通道，其中没有任何两条航班由同一家航空公司经营。
题目 4 记 $\mathbb{N}$ 为全体正整数组成的集合. 若一个 $\mathbb N$ 的子集 $A$ 满足对任意 $x, y \in A$ ($x,y$ 不必相异), 都有 $x+y \notin A$ 则我们称 $A_{i}$ 是好的. 求所有的满射 $f:\mathbb N \rightarrow\mathbb N$, 使得对任意 $\mathbb N$ 的无求和子集 $A$ 都有 $\{f(a): a \in A\}$ 还是无求和的.
题目 5 平面上的一个格点是指两个坐标都是整数的点. 一个格点多边形是指所有顶点都是格点的多边形. 设 $\Gamma$ 是一个凸的格点多边形, 证明：存在一个包含 $\Gamma$ 的格点凸多边形 $\Omega$, 使得所有 $T$ 的顶点都在 $\Omega$ 的边上, 且恰有一个 $\Omega$ 的顶点不是 $\Gamma$ 的顶点。
题目 6 对任意整数 $n \geq 2$, 记 $F(n)$ 为 $n$ 最大的素因子. 一个好对是指一对相异素数 $p q$ 满足不存在整数 $n \geq 2$ 使得 $F(n) F(n+1)=p q$。证明：存在无穷多个好对。 |
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