矩阵A的特征值λ的几何重数=1, 则rank(A-λI)=n-1

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n阶矩阵A的特征值λ的几何重数=1, 则rank(A-λI)=n-1.
证明
n阶矩阵A的特征值λ的几何重数=1, 则$A$只有1个特征值λ的Jordan block
特征值λ的$m$阶Jordan block
$$J_m=\left[\begin{array}cλ & 1\\ & λ & 1\\ & & λ & 1 \\[-5px] & & & \ddots& \ddots \\[-3px] & & & &λ& 1 \\ & & & && λ\end{array}\right]$$
于是
$$J_m-λI_m=\left[\begin{array}c0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & & \\ & & 0 & 1 & & \\[-5px] & & & \ddots &\ddots \\ & & & &0& 1 \\ & & & && 0\end{array}\right]$$
的秩为$m-1$. 其它的Jordan block减$λI$后仍然满秩, 所以rank(A-λI)=n-1.
来源