A 是两个自伴矩阵之积当且仅当 A 相似于 A 的伴随矩阵？

hbghlyj

如果 $A$ 相似于 $A^*$，那么 $A=BA^*B^{-1}$ 对于某个可逆矩阵 $B$，易得$$A(B+B^*)=(B+B^*)A^ *$$所以 $A(B+B^*)$ 是自伴的。如果 $B+B^*$ 是可逆的，那么我们就完成了，因为我们可以取 $X=A(B+B^*)$ 和 $Y=(B+B^*)^{-1}$ . 但是 $B+B^*$ 可能不可逆。要解决这个问题，请注意对任何非零标量 $\lambda$ 我们可以用 $\lambda B$ 替换 $B$，并且你可以证明对于任何可逆的 $B$，存在一个标量 $\lambda$ 使得 $\lambda B+\bar{\lambda}B^*$ 是可逆的。
搬运MSE